Para determinar o volume formado pelo parabolóide \( z = 4 - x^2 - y^2 \) e pelo plano \( xy \), precisamos calcular a integral dupla da função sobre a região onde o parabolóide está acima do plano. 1. Identificar a região de integração: O parabolóide intercepta o plano \( z = 0 \) quando \( 4 - x^2 - y^2 = 0 \), ou seja, \( x^2 + y^2 = 4 \). Isso define um círculo de raio 2 no plano \( xy \). 2. Configurar a integral: Usando coordenadas polares, onde \( x = r \cos \theta \) e \( y = r \sin \theta \), a integral dupla se torna: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) r \, dr \, d\theta \] 3. Calcular a integral: - Primeiro, resolvemos a integral interna: \[ \int_0^2 (4r - r^3) \, dr = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \left[ 2(2^2) - \frac{(2^4)}{4} \right] = 8 - 4 = 4 \] - Agora, integramos em relação a \( \theta \): \[ V = \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \cdot 2\pi = 8\pi \] Portanto, o volume formado pelo parabolóide e pelo plano \( xy \) é \( 8\pi \). A alternativa correta é: E 8π.