Grátis: Determine a abscissa do centro de massa de um sólido na forma de um cubo, definido por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1, com densidade volumétrica ...

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Determine a abscissa do centro de massa de um sólido na forma de um cubo, definido por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1, com densidade volumétrica de massa δ(x,y,z) = 6(x² + y² + z²).

A 5/24
B 7/24
C 9/24
D 11/24
E 13/24

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Para determinar a abscissa do centro de massa de um sólido, precisamos usar a fórmula: \[ \bar{x} = \frac{1}{M} \int_V x \cdot \delta(x,y,z) \, dV \] onde \( M \) é a massa total do sólido, dada por: \[ M = \int_V \delta(x,y,z) \, dV \] Neste caso, a densidade volumétrica é \( \delta(x,y,z) = 6(x^2 + y^2 + z^2) \). 1. Cálculo da massa total \( M \): \[ M = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 6(x^2 + y^2 + z^2) \, dz \, dy \, dx \] Calculando a integral: \[ M = 6 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2 + z^2) \, dz \, dy \, dx \] Separando as integrais: \[ M = 6 \left( \int_0^1 x^2 \, dx \int_0^1 \int_0^1 dz \, dy + \int_0^1 y^2 \, dy \int_0^1 \int_0^1 dz \, dx + \int_0^1 z^2 \, dz \int_0^1 \int_0^1 dy \, dx \right) \] Cada uma dessas integrais resulta em \( \frac{1}{3} \) para \( x^2 \), \( y^2 \) e \( z^2 \), e a integral de \( dz \) e \( dy \) ou \( dx \) resulta em 1. Portanto: \[ M = 6 \left( \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 \right) = 6 \cdot 1 = 6 \] 2. Cálculo da abscissa do centro de massa \( \bar{x} \): \[ \bar{x} = \frac{1}{M} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 x \cdot 6(x^2 + y^2 + z^2) \, dz \, dy \, dx \] Seguindo o mesmo raciocínio, temos: \[ \bar{x} = \frac{1}{6} \cdot 6 \left( \int_0^1 x^3 \, dx \cdot 1 + \int_0^1 x \, dx \cdot \int_0^1 y^2 \, dy + \int_0^1 x \, dx \cdot \int_0^1 z^2 \, dz \right) \] Calculando as integrais: \[ \int_0^1 x^3 \, dx = \frac{1}{4}, \quad \int_0^1 y^2 \, dy = \frac{1}{3}, \quad \int_0^1 z^2 \, dz = \frac{1}{3} \] Assim, temos: \[ \bar{x} = \frac{1}{6} \cdot 6 \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \right) \] Calculando: \[ \bar{x} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \] Por fim, a abscissa do centro de massa é: A opção correta é A 5/24.

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Qual é o valor de →G(0) para que a função →G(t) = ⟨e^(2t + 1), √(t + 1) - 1/t, 2 sen(t)⟩ seja contínua em t = 0?

E < 1, 1/2, 2 >

A regra da cadeia é amplamente aplicada em áreas como física, engenharia, economia e ciências naturais, onde muitos fenômenos são descritos por funções de várias variáveis. Uma placa de metal tem sua temperatura dada por T(x, y) = 36−2x²−4y², onde x e y são medidos em centímetros e um objeto está no ponto P = (2, 1). A trajetória do objeto em cada instante t (segundos) é dada por r(t) = (t, t²/4), dessa forma, determine a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo no ponto Q = (4, 4).

D -80°C/seg.

A regra da cadeia é um conceito fundamental na diferenciação de funções de várias variáveis e permite calcular a derivada de uma função composta. Sabendo que f(x, y) é uma função diferenciável no ponto (2, 1) de forma que fx(2, 1) = 2. Se r(t) = (t + 2, e^(2t)) sabendo que d/dt f(r(t))|t = 0 = −2, quanto vale fy(2, 1)?

A -2.

Com a regra da cadeia, podemos determinar como pequenas mudanças nas variáveis independentes afetam a função composta. Sejam as funções f(x, y) = e^(xy), g(t) = cos(t), h(t) = sen(t) e F(t) = f(g(t), h(t)), calcule F′(0).

D 1.

Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico x = y 2 e pelos planos x = 4, z = 6 e z = 0.

A
B
C
D
E

a um conceito fundamental em vetores, que é:

A O vetor como uma medida de distância percorrida
B O vetor como uma grandeza escalar
C O vetor como uma quantidade aleatória de deslocamento
D O vetor como uma quantidade puramente numérica
E O vetor como uma quantidade vetorial com direção e sentido

Seja f( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 1 , 2 ), e que f x ( 1 , 2 ) = −1 e que sua derivada direcional ( 1 , 2 ) segundo a direção do vetor ( 1 , 1 ) vale 1, qual o valor de f y ( 1 , 2 )?

A 1.
B 2.
C √ 2.
D 0.
E 1+ √ 2

Considere uma curva parametrizada no espaço tridimensional. O plano osculador em um ponto da curva é definido como:

A O plano que contém o vetor normal e o vetor binormal à curva no ponto.
B O plano que contém o vetor tangente e o vetor normal à curva no ponto.
C O plano que contém o vetor tangente e o vetor osculador à curva no ponto.
D O plano que contém a derivada primeira e a derivada segunda da curva no ponto.
E O plano que contém o vetor tangente e o vetor binormal à curva no ponto.

Na física, ao estudar o movimento de uma partícula em um campo vetorial, é comum utilizar um vetor especial chamado versor. Esse versor é definido como:

A Um vetor com magnitude igual ao produto das coordenadas componentes.
B Um vetor com magnitude igual a 1
C Um vetor com magnitude igual a zero
D Um vetor com magnitude igual a 2
E Um vetor com magnitude variável dependendo do campo vetorial

A derivada parcial é uma das principais ferramentas para analisar funções de várias variáveis. Ela permite calcular a taxa de variação da função em relação a uma variável específica, mantendo as demais constantes. Sobre as derivadas parciais, marque a afirmativa correta.

A Se uma função f : R 2 → R diferenciável em ( x 0 , y 0 ) pode não ter plano tangente em ( x 0 , y 0 , f( x 0 , y 0 )).
B Se uma função f : R 2 → R possui derivadas parciais contínuas, então ela é diferenciável.
C Toda função f : R 2 → R contínua em um ponto P é diferenciável em P.
D Para provar que uma função f : R 2 → R é contínua em ( x 0 , y 0 ), basta provar que lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f( x , y ) existe sobre todas as retas que passam por ( x 0 , y 0 ).
E A função f( x , y ) = √ x 2+ y 2 tem derivadas direcionais em todas as direções do ponto ( 0 , 0 ).

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Com a regra da cadeia, podemos determinar como pequenas mudanças nas variáveis independentes afetam a função composta. Sejam as funções f(x, y) = e^(xy), g(t) = cos(t), h(t) = sen(t) e F(t) = f(g(t), h(t)), calcule F′(0).D 1.

Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico x = y 2 e pelos planos x = 4, z = 6 e z = 0.ABCDE

a um conceito fundamental em vetores, que é:A O vetor como uma medida de distância percorridaB O vetor como uma grandeza escalarC O vetor como uma quantidade aleatória de deslocamentoD O vetor como uma quantidade puramente numéricaE O vetor como uma quantidade vetorial com direção e sentido

Seja f( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 1 , 2 ), e que f x ( 1 , 2 ) = −1 e que sua derivada direcional ( 1 , 2 ) segundo a direção do vetor ( 1 , 1 ) vale 1, qual o valor de f y ( 1 , 2 )?A 1.B 2.C √ 2.D 0.E 1+ √ 2

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D 1.

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A
B
C
D
E

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A 1.
B 2.
C √ 2.
D 0.
E 1+ √ 2