Para resolver a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^3} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = \ln(x)\). Assim, temos: 1. Substituição: \(u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx \Rightarrow dx = x \, du = e^u \, du\). 2. Mudança de variável: Como \(x = e^u\), então \(x^3 = e^{3u}\). A integral se torna: \[ \int \frac{u}{e^{3u}} e^u \, du = \int \frac{u}{e^{2u}} \, du. \] 3. Integração por partes: Vamos usar a fórmula de integração por partes, onde \(dv = \frac{1}{e^{2u}} \, du\) e \(v = -\frac{1}{2e^{2u}}\). Escolhemos \(w = u\) e \(dw = du\). Aplicando a fórmula: \[ \int w \, dv = wv - \int v \, dw, \] temos: \[ \int u \cdot \frac{1}{e^{2u}} \, du = -\frac{u}{2e^{2u}} - \int -\frac{1}{2e^{2u}} \, du. \] 4. Resolvendo a integral restante: \[ \int -\frac{1}{2e^{2u}} \, du = -\frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{2e^{2u}} = \frac{1}{4e^{2u}}. \] 5. Juntando tudo: \[ -\frac{u}{2e^{2u}} + \frac{1}{4e^{2u}} + C. \] 6. Voltando à variável original: Substituindo \(u = \ln(x)\) e \(e^{2u} = x^2\): \[ -\frac{\ln(x)}{2x^2} + \frac{1}{4x^2} + C. \] Assim, a resposta final é: \[ -\frac{\ln(x)}{2x^2} - \frac{1}{2x^2} + C. \]