Calcule \( \int_{0}^{1} x \ln(x^2) \, dx \). Resposta: \( -\frac{1}{3} \). Explicação: Use a técnica de integração por partes e simplifique.

Para calcular a integral \( \int_{0}^{1} x \ln(x^2) \, dx \), vamos usar a técnica de integração por partes. 1. Escolha \( u \) e \( dv \): - Seja \( u = \ln(x^2) \) e \( dv = x \, dx \). - Então, \( du = \frac{2}{x} \, dx \) e \( v = \frac{x^2}{2} \). 2. Aplique a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo: \[ \int x \ln(x^2) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x^2) \bigg|_{0}^{1} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2}{x} \, dx \] 3. Calcule \( \frac{x^2}{2} \ln(x^2) \bigg|_{0}^{1} \): - Para \( x = 1 \): \( \frac{1^2}{2} \ln(1^2) = 0 \). - Para \( x = 0 \): \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2} \ln(x^2) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2} (2 \ln(x)) = \lim_{x \to 0} x^2 \ln(x) = 0 \) (usando a regra de L'Hôpital). 4. Calcule a integral restante: \[ -\int x \, dx = -\frac{x^2}{2} \bigg|_{0}^{1} = -\frac{1}{2} \] 5. Junte tudo: \[ \int_{0}^{1} x \ln(x^2) \, dx = 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \] Portanto, a resposta correta é \( -\frac{1}{2} \), não \( -\frac{1}{3} \).