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Calcule \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \). Resposta: \( \frac{e - 1}{2} \). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 \).

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Para calcular a integral \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \), vamos usar a substituição \( u = x^2 \). 1. Substituição: - Se \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2x} \). - Quando \( x = 0 \), \( u = 0^2 = 0 \). - Quando \( x = 1 \), \( u = 1^2 = 1 \). 2. Mudança de variáveis: - A integral se torna: \[ \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx = \int_{0}^{1} e^{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u} \, du. \] 3. Calcular a integral: - A integral de \( e^{u} \) é \( e^{u} \), então: \[ \int_{0}^{1} e^{u} \, du = e^{1} - e^{0} = e - 1. \] 4. Resultado final: - Portanto, temos: \[ \frac{1}{2} (e - 1) = \frac{e - 1}{2}. \] Assim, a resposta está correta: \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx = \frac{e - 1}{2} \).

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Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \).

\( \frac{1}{2} \).
Explicação: Use a substituição \( x = \sin(\theta) \).

Encontre a integral \( \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2} \, dx \).

Resposta: \( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \).
Explicação: Utilize a substituição \( u = x^2 \).

Calcule \( \int_{0}^{1} x \ln(x^2) \, dx \).

Resposta: \( -\frac{1}{3} \).
Explicação: Use a técnica de integração por partes e simplifique.

Determine a integral \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \).

Resposta: \( \frac{\pi}{2} \).
Explicação: Utilize a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \).

Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2x + 5} \, dx \).

Resposta: \( \frac{1}{\sqrt{9}} \arctan\left(\frac{x+2}{\sqrt{9}}\right) + C = \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{x+2}{3}\right) + C \).
Explicação: Complete o quadrado no denominador e use a fórmula padrão.

Encontre a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \).

Resposta: \( 1 \).
Explicação: A integral é a antiderivada de \( \cos(x) \), que é \( \sin(x) \).

Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2} \, dx \).

Resposta: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \).
Explicação: Use a fórmula padrão para integrais envolvendo \( \frac{1}{x^2 + a^2} \).

Determine a integral \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \).

Resposta: \( \frac{1}{2} \).
Explicação: Use a substituição \( x = \sin(\theta) \).

Encontre a integral \( \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{1+\tan^2(x)} \, dx \).

Resposta: \( \frac{\pi}{8} \).
Explicação: Use a identidade \( 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) \).

Calcule \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx \).

Resposta: \( \frac{\pi}{8} \).
Explicação: Use a identidade \( \sin^2(x) \cos^2(x) = \frac{1}{4} \sin^2(2x) \).

Determine a integral \( \int_{0}^{1} \frac{\ln(x)}{x} \, dx \).

Resposta: \( -\frac{1}{2} \).
Explicação: Use a técnica de integração por partes.

Calcule \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \sin^2(x) \, dx \).

Resposta: \( \frac{\pi}{16} \).
Explicação: Use identidades trigonométricas para simplificar.

Encontre a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \, dx \).

Resposta: \( \frac{1}{2} - \frac{\arctan(1)}{2} \).
Explicação: Use a fórmula para integrais envolvendo \( \frac{1}{(x^2 + a^2)^2} \).

Calcule \( \int_{0}^{\pi} \sin^4(x) \, dx \).

Resposta: \( \frac{3\pi}{8} \).
Explicação: Use a identidade \( \sin^4(x) = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 \).

Determine a integral \( \int_{0}^{1} \frac{e^{-x}}{x} \, dx \).

Resposta: Esta integral é conhecida como a integral exponencial \( \text{Ei}(-1) \).
Explicação: Não pode ser expressa em termos de funções elementares.

Calcule \( \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx \).

Resposta: \( \frac{1}{8} \).
Explicação: Use a substituição \( x = \sin(\theta) \).

Encontre a integral \( \int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx \).

Resposta: \( \frac{\pi}{2} \).
Explicação: Use a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \).

Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \, dx \).

Resposta: \( \frac{1}{4} - \frac{\ln 2}{2} \).
Explicação: Use a substituição \( u = 1 + x^2 \).

Determine a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}} \, dx \).

Resposta: \( \frac{1}{\sqrt{4}} \ln\left|\frac{x+2+\sqrt{x^2+2x+5}}{2}\right| \).
Explicação: Complete o quadrado no denominador.

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