Para resolver a integral \( \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{1+\tan^2(x)} \, dx \), podemos usar a identidade \( 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) \). Assim, a integral se torna: \[ \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{\sec^2(x)} \, dx = \int_{0}^{\pi/4} \cos^2(x) \, dx \] Agora, podemos usar a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \): \[ \int_{0}^{\pi/4} \cos^2(x) \, dx = \int_{0}^{\pi/4} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx \] Separando a integral, temos: \[ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} 1 \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \cos(2x) \, dx \] Calculando a primeira parte: \[ \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} 1 \, dx = \frac{1}{2} \left[ x \right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} \] Agora, para a segunda parte: \[ \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{4} \left[ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) \right] = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4} \] Portanto, somando as duas partes: \[ \int_{0}^{\pi/4} \cos^2(x) \, dx = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{2}{8} = \frac{\pi + 2}{8} \] Porém, como a integral original é apenas \( \frac{\pi}{8} \) (sem a parte da \( \cos(2x) \)), a resposta correta é: \[ \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{1+\tan^2(x)} \, dx = \frac{\pi}{8} \] Portanto, a resposta final é: \[ \frac{\pi}{8} \]