Para resolver a integral \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \), vamos usar a substituição \( x = \sin(\theta) \). 1. Substituição: Se \( x = \sin(\theta) \), então \( dx = \cos(\theta) \, d\theta \). 2. Limites de integração: Quando \( x = 0 \), \( \theta = 0 \) e quando \( x = 1 \), \( \theta = \frac{\pi}{2} \). 3. Substituindo na integral: \[ \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}} \cos(\theta) \, d\theta \] Como \( \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \cos(\theta) \), a integral se torna: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) \, d\theta \] 4. Integral de \( \sin(\theta) \): \[ \int \sin(\theta) \, d\theta = -\cos(\theta) \] 5. Calculando os limites: \[ \left[-\cos(\theta)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(-\cos(0)\right) = 0 + 1 = 1 \] Portanto, a integral \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = 1 \). A resposta correta é \( 1 \), não \( \frac{1}{2} \).