Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). \( \frac{1}{2} \). Explicação: Use a substituição \( x = \sin(\theta) \).

Para calcular a integral \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \) usando a substituição \( x = \sin(\theta) \), siga os passos abaixo: 1. Substituição: - Se \( x = \sin(\theta) \), então \( dx = \cos(\theta) \, d\theta \). - Os limites de integração mudam: quando \( x = 0 \), \( \theta = 0 \) e quando \( x = 1 \), \( \theta = \frac{\pi}{2} \). 2. Substituindo na integral: \[ \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(\theta)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} \cos(\theta) \, d\theta \] Como \( \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \cos(\theta) \), a integral se torna: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta) \, d\theta \] 3. Usando a identidade: \[ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \] Assim, a integral se transforma em: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta \] 4. Calculando a integral: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta = \frac{\pi}{2} \] \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2\theta) \, d\theta = 0 \quad (\text{pois é uma função par em um intervalo simétrico}) \] Portanto: \[ \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4} \] 5. Resultado final: A integral \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \frac{\pi}{4} \). Assim, a resposta correta é \( \frac{\pi}{4} \), e não \( \frac{1}{2} \).