Grátis: Encontre a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \). Resposta: \( 1 \). Explicação: A integral é a antiderivada de \( \cos(x) \), que é \( \s...

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Encontre a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \).

Resposta: \( 1 \).
Explicação: A integral é a antiderivada de \( \cos(x) \), que é \( \sin(x) \).

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Para resolver a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \), siga os passos abaixo: 1. Encontre a antiderivada: A antiderivada de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \). 2. Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo: Avalie a antiderivada nos limites de integração: \[ \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx = \left[ \sin(x) \right]_{0}^{\pi/2} \] 3. Calcule os limites: - Para \( x = \pi/2 \): \( \sin(\pi/2) = 1 \) - Para \( x = 0 \): \( \sin(0) = 0 \) 4. Substitua os valores: \[ \left[ \sin(x) \right]_{0}^{\pi/2} = 1 - 0 = 1 \] Portanto, a resposta é: \[ \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx = 1 \]

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Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \).

\( \frac{1}{2} \).
Explicação: Use a substituição \( x = \sin(\theta) \).

Encontre a integral \( \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2} \, dx \).

Resposta: \( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \).
Explicação: Utilize a substituição \( u = x^2 \).

Calcule \( \int_{0}^{1} x \ln(x^2) \, dx \).

Resposta: \( -\frac{1}{3} \).
Explicação: Use a técnica de integração por partes e simplifique.

Determine a integral \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \).

Resposta: \( \frac{\pi}{2} \).
Explicação: Utilize a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \).

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Resposta: \( \frac{1}{\sqrt{9}} \arctan\left(\frac{x+2}{\sqrt{9}}\right) + C = \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{x+2}{3}\right) + C \).
Explicação: Complete o quadrado no denominador e use a fórmula padrão.

Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2} \, dx \).

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Resposta: \( \frac{1}{2} \).
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Resposta: \( \frac{e - 1}{2} \).
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Encontre a integral \( \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{1+\tan^2(x)} \, dx \).

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Explicação: Não pode ser expressa em termos de funções elementares.

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Explicação: Use a substituição \( u = 1 + x^2 \).

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Resposta: \( \frac{1}{\sqrt{4}} \ln\left|\frac{x+2+\sqrt{x^2+2x+5}}{2}\right| \).
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