Para resolver a integral \( \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2} \, dx \), vamos usar a substituição \( u = x^2 \). 1. Substituição: Se \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2\sqrt{u}} \). 2. Limites de integração: Quando \( x = 0 \), \( u = 0 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 1 \). 3. Reescrevendo a integral: \[ \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{\sqrt{u}}}{1 + u} \cdot \frac{du}{2\sqrt{u}} = \int_{0}^{1} \frac{u^{1/4}}{1 + u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u^{1/4}}{1 + u} \, du \] 4. Integral result: A integral \( \int_{0}^{1} \frac{u^{1/4}}{1 + u} \, du \) pode ser resolvida usando a função beta ou a função gama, resultando em \( \frac{\pi}{8} \). 5. Resultado final: \[ \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{\pi}{16} \] Portanto, a resposta correta é \( \frac{\pi}{16} \). Se a resposta que você mencionou foi \( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \), pode haver um erro na interpretação ou no cálculo. A integral correta é \( \frac{\pi}{16} \).