Para calcular a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2x + 5} \, dx \), vamos primeiro completar o quadrado no denominador. O polinômio \( x^2 + 2x + 5 \) pode ser reescrito como: \[ x^2 + 2x + 1 + 4 = (x+1)^2 + 4 \] Assim, a integral se torna: \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)^2 + 4} \, dx \] Agora, podemos usar a fórmula padrão para a integral \( \int \frac{1}{a^2 + u^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C \), onde \( a = 2 \) e \( u = x + 1 \). Portanto, a integral se transforma em: \[ \int \frac{1}{4 + (x+1)^2} \, dx = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x+1}{2}\right) + C \] Agora, precisamos avaliar a integral definida de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x+1}{2}\right) \right]_{0}^{1} \] Calculando os limites: 1. Para \( x = 1 \): \[ \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{1+1}{2}\right) = \frac{1}{2} \arctan(1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} \] 2. Para \( x = 0 \): \[ \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{0+1}{2}\right) = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \] Portanto, a integral definida é: \[ \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \] Assim, a resposta final para a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2x + 5} \, dx \) é: \[ \frac{1}{2} \left( \arctan(1) - \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \right) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \] Se precisar de mais detalhes ou de um passo específico, é só avisar!