9. Determine o ângulo entre os seguintes planos π1: x− y+4=0 e π2 :2x− y−z=0

Para determinar o ângulo entre os planos \( \pi_1: x - y + 4 = 0 \) e \( \pi_2: 2x - y - z = 0 \), precisamos encontrar os vetores normais de cada plano. 1. Encontrar os vetores normais: - Para o plano \( \pi_1 \), a equação pode ser reescrita como \( 1x - 1y + 0z + 4 = 0 \). O vetor normal \( \vec{n_1} \) é \( (1, -1, 0) \). - Para o plano \( \pi_2 \), a equação pode ser reescrita como \( 2x - 1y - 1z + 0 = 0 \). O vetor normal \( \vec{n_2} \) é \( (2, -1, -1) \). 2. Calcular o ângulo entre os vetores normais: O ângulo \( \theta \) entre os dois vetores normais pode ser encontrado usando a fórmula do cosseno do ângulo: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} \] 3. Calcular o produto escalar \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} \): \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (-1)(-1) + (0)(-1) = 2 + 1 + 0 = 3 \] 4. Calcular as normas dos vetores: \[ ||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] \[ ||\vec{n_2}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] 5. Substituir na fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 6. Encontrar o ângulo \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] O ângulo \( \theta \) é \( 30^\circ \) ou \( \frac{\pi}{6} \) radianos. Portanto, o ângulo entre os planos \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \) é \( 30^\circ \).