4. Calcule o ângulo entre as retas r e s, sendo: r : x=3+t, y=t, z=−1−2t a. s : (x+2)/−2, (y−3)/1 e z/1 30° b. 45° c. 50° d. ( X ) 60º

Para calcular o ângulo entre as retas \( r \) e \( s \), precisamos primeiro identificar os vetores diretores de cada reta. A reta \( r \) é dada por: - \( x = 3 + t \) - \( y = t \) - \( z = -1 - 2t \) O vetor diretor de \( r \) pode ser obtido a partir dos coeficientes de \( t \): - \( \vec{v_r} = (1, 1, -2) \) Agora, vamos analisar a reta \( s \): A reta \( s \) é dada por: - \( \frac{x + 2}{-2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{1} \) Podemos reescrever isso para encontrar o vetor diretor: - \( x = -2u - 2 \) - \( y = u + 3 \) - \( z = u \) O vetor diretor de \( s \) é: - \( \vec{v_s} = (-2, 1, 1) \) Agora, para encontrar o ângulo \( \theta \) entre os vetores \( \vec{v_r} \) e \( \vec{v_s} \), usamos a fórmula do cosseno do ângulo: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{v_r} \cdot \vec{v_s}}{|\vec{v_r}| |\vec{v_s}|} \] Calculando o produto escalar: \[ \vec{v_r} \cdot \vec{v_s} = (1)(-2) + (1)(1) + (-2)(1) = -2 + 1 - 2 = -3 \] Calculando as magnitudes: \[ |\vec{v_r}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{v_s}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Substituindo na fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] Portanto, \( \theta = 120° \). No entanto, como estamos buscando o ângulo entre as retas, consideramos o ângulo agudo, que é \( 180° - 120° = 60° \). Assim, a alternativa correta é: d) \( 60° \)