Para calcular o volume \( V \) do sólido acima da região retangular \( R = [0,2] \times [1,2] \) e abaixo da superfície \( f(x,y) = x + 3y \), utilizamos a expressão: \[ V = \iint_R f(x,y) \, dA \] Neste caso, a integral dupla se torna: \[ V = \int_0^2 \int_1^2 (x + 3y) \, dy \, dx \] Vamos calcular essa integral passo a passo. 1. Calcular a integral interna (em relação a \( y \)): \[ \int_1^2 (x + 3y) \, dy = \left[ xy + \frac{3y^2}{2} \right]_1^2 \] Substituindo os limites: \[ = \left[ x(2) + \frac{3(2^2)}{2} \right] - \left[ x(1) + \frac{3(1^2)}{2} \right] \] \[ = \left[ 2x + 6 \right] - \left[ x + \frac{3}{2} \right] \] \[ = 2x + 6 - x - \frac{3}{2} = x + 6 - \frac{3}{2} = x + \frac{12}{2} - \frac{3}{2} = x + \frac{9}{2} \] 2. Agora, calcular a integral externa (em relação a \( x \)): \[ V = \int_0^2 \left( x + \frac{9}{2} \right) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{9}{2}x \right]_0^2 \] Substituindo os limites: \[ = \left[ \frac{(2)^2}{2} + \frac{9}{2}(2) \right] - \left[ 0 \right] \] \[ = \left[ \frac{4}{2} + \frac{18}{2} \right] = 2 + 9 = 11 \] Portanto, o volume \( V \) do sólido é: \[ V = 11 \] Assim, a alternativa que representa o volume considerado é \( 11 \).