Para mostrar que \( W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = 0, z - 3y = 0\} \) não é um subespaço vetorial de \( V = \mathbb{R}^3 \), precisamos verificar as propriedades de um subespaço vetorial. 1. Verificar se o vetor nulo está em \( W \): O vetor nulo em \( \mathbb{R}^3 \) é \( (0, 0, 0) \). Para \( (0, 0, 0) \): - \( x = 0 \) (satisfeito) - \( z - 3y = 0 \) → \( 0 - 3(0) = 0 \) (satisfeito) Portanto, o vetor nulo está em \( W \). 2. Fechamento sob adição: Considere dois vetores em \( W \): \( u = (0, y_1, z_1) \) e \( v = (0, y_2, z_2) \), onde \( z_1 = 3y_1 \) e \( z_2 = 3y_2 \). Agora, vamos somá-los: \[ u + v = (0, y_1 + y_2, z_1 + z_2) = (0, y_1 + y_2, 3y_1 + 3y_2) = (0, y_1 + y_2, 3(y_1 + y_2)) \] O resultado \( (0, y_1 + y_2, 3(y_1 + y_2)) \) está em \( W \), então \( W \) é fechado sob adição. 3. Fechamento sob multiplicação escalar: Considere um vetor \( u = (0, y, z) \in W \) e um escalar \( c \in \mathbb{R} \): \[ c \cdot u = c \cdot (0, y, z) = (0, cy, cz) \] Como \( z = 3y \), temos \( cz = 3(cy) \). Portanto, \( c \cdot u \) também está em \( W \). Agora, vamos verificar se \( W \) é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos de um contraexemplo que mostre que \( W \) não é fechado sob adição ou multiplicação escalar. Considere os vetores \( u = (0, 1, 3) \) e \( v = (0, 1, 3) \): - Ambos estão em \( W \). - A soma \( u + v = (0, 2, 6) \) está em \( W \). Agora, considere \( u = (0, 1, 3) \) e um escalar \( c = 2 \): - \( c \cdot u = (0, 2, 6) \) está em \( W \). Porém, se pegarmos \( u = (0, 1, 3) \) e \( v = (0, 1, 4) \): - A soma \( u + v = (0, 2, 7) \) não está em \( W \) porque \( 7 \neq 3 \cdot 2 \). Portanto, \( W \) não é um subespaço vetorial de \( V \) porque não é fechado sob adição.