Para encontrar a representação cartesiana de \( z = re^{i\theta} \), utilizamos a fórmula de Euler, que nos diz que \( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \). Assim, podemos reescrever \( z \) como: \[ z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) = r\cos(\theta) + i r\sin(\theta) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( r\cos(\theta) + i r\sin(\theta) \) - Esta é a representação correta. B) \( r\sin(\theta) + i r\cos(\theta) \) - Esta está incorreta, pois inverte os termos. C) \( e^{\ln(r)} + i \) - Esta não é uma representação correta de \( z \). D) \( e^{i\theta} \) - Esta é apenas a parte imaginária e não representa \( z \) completamente. Portanto, a alternativa correta é: A) \( r\cos(\theta) + i r\sin(\theta) \).