Aulas da minha escolal 5C2

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71. Qual é a representação polar de \( z = -1 - i \)? 
 A) \( \sqrt{2} \text{cis}\left(\frac{5\pi}{4}\right) \) 
 B) \( 1 \text{cis}\left(\frac{3\pi}{4}\right) \) 
 C) \( \sqrt{2} \text{cis}\left(\frac{3\pi}{4}\right) \) 
 D) \( 2 \text{cis}\left(-\frac{3\pi}{2}\right) \) 
 **Resposta:** A) \( \sqrt{2} \text{cis}\left(\frac{5\pi}{4}\right) \) 
 **Explicação:** O módulo é \( \sqrt{2} \) e o argumento é \( \frac{5\pi}{4} \), já que o vetor 
está no terceiro quadrante. 
 
72. Se \( z = e^{i\frac{\pi}{6}} \), qual é \( z^3 \)? 
 A) \( e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
 B) \( e^{i\frac{3\pi}{2}} \) 
 C) \( e^{i\frac{5\pi}{6}} \) 
 D) \( e^{i\pi} \) 
 **Resposta:** A) \( e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
 **Explicação:** \( z^3 = \left(e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^3 = e^{i\frac{3\pi}{6}} = 
e^{i\frac{\pi}{2}} \). 
 
73. O que é a parte real de \( \frac{1 + i}{1 - i} \)? 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( \frac{1}{2} \) 
 D) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) 
 **Resposta:** C) \( 1 \) 
 **Explicação:** Multiplicando o numerador pelo conjugado do denominador: 
 \[ 
 \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{(1 - 1 + 2i)}{2} = \frac{2i}{2} = i \text{ (parte real é 0)}. 
 \] 
 
74. Se \( z_1 = 1 + 2i \) e \( z_2 = 2 + i \), qual é o módulo de \( z_1 + z_2 \)? 
 A) \( 4 \) 
 B) \( 5 \) 
 C) \( 3 \) 
 D) \( 1 \) 
 **Resposta:** B) \( 5 \) 
 **Explicação:** Somando, temos: 
 \( z_1 + z_2 = (1 + 2) + (2 + i) = 3 + 3i \), e o módulo é \( |z| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 
3\sqrt{2} \). 
 
75. Se \( z = 1 + i \), qual é a expressão para \( z^3 \)? 
 A) \( -1 + i \) 
 B) \( 0 + i \) 
 C) \( -2 + 2i \) 
 D) \( -1 - i \) 
 **Resposta:** A) \( -1 + i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^3 = (1 + i)(1 + i)(1 + i) = 1 + 3i - 3 = -1 + i \). 
 
76. Qual é a soma dos argumentos de \( z_1 = e^{i\frac{\pi}{4}} \) e \( z_2 = e^{i\frac{\pi}{4}} 
\)? 
 A) \( e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
 B) \( e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
 C) \( e^{i\frac{\pi}} \) 
 D) \( e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
 **Resposta:** A) \( e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
 **Explicação:** Soma de argumentos: \( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \). 
 
77. Se \( z = 3 + 4i \), qual é \( z^2 - z \)? 
 A) \( -1 + 6i \) 
 B) \( 5 + 9i \) 
 C) \( -1 + 9i \) 
 D) \( -5 + 6i \) 
 **Resposta:** C) \( -1 + 9i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^2 = (3 + 4i)^2 = 9 - 32 + 24i = -7 + 24i \). Portanto, \( z^2 - z 
= (-7 + 24i) - (3 + 4i) = -10 + 20i\). 
 
78. Qual é a representação cartesiana de \( z = re^{i\theta} \)? 
 A) \( r\cos(\theta) + i r\sin(\theta) \) 
 B) \( r\sin(\theta) + i r\cos(\theta) \) 
 C) \( e^{\ln(r)} + i \) 
 D) \( e^{i\theta} \) 
 **Resposta:** A) \( r\cos(\theta) + i r\sin(\theta) \) 
 **Explicação:** A representação cartesiana de \( z \) é \( z = r\cos(\theta) + ir\sin(\theta) 
\). 
 
79. Se \( z = 3 - 4i \), qual é \( z - z^2 \)? 
 A) \( 7 - 4i \) 
 B) \( 7 - 3i \) 
 C) \( 7 + 4i \) 
 D) \( 7 + 3i \) 
 **Resposta:** C) \( 7 + 4i \) 
 **Explicação:** Temos \( z^2 = (3 - 4i)^2 = 9 - 24 + 16 = -15 + 24i \), então \( z - z^2 = (3 - 4i) 
- (-15 + 24i) = 18 - 20i\). 
 
80. Qual é o produto de \( z_1 = 3i \) e \( z_2 = 2 - i \)? 
 A) \( 6 - 3i \) 
 B) \( -6 - 3i \) 
 C) \( -6 + 3i \) 
 D) \( 6 + 3i \) 
 **Resposta:** A) \( 6 + 3i \) 
 **Explicação:** Multiplicando: 
 \( z_1 z_2 = (3i)(2 - i) = 6i - 3 = 6 + 3i \). 
 
81. Se \( z = 1 + 2i \), qual é \( z^3 \)? 
 A) \( -11 + 2i \)