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Calcule a derivada de f(x) = \ln(x^2 + 2x). Now, choose the correct alternative:

A) \frac{2x + 2}{x^2 + 2x}
B) \frac{1}{x^2 + 2x}
C) \frac{2}{x^2 + 2x}
D) \frac{1}{x}
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Para calcular a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 2x) \), vamos usar a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = x^2 + 2x \). 1. Primeiro, encontramos \( u' \): \[ u = x^2 + 2x \implies u' = 2x + 2 \] 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{x^2 + 2x} \cdot (2x + 2) \] 3. Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x} \] Analisando as alternativas: A) \(\frac{2x + 2}{x^2 + 2x}\) - Correta. B) \(\frac{1}{x^2 + 2x}\) - Incorreta. C) \(\frac{2}{x^2 + 2x}\) - Incorreta. D) \(\frac{1}{x}\) - Incorreta. A alternativa correta é: A) \(\frac{2x + 2}{x^2 + 2x}\).

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