Para resolver a integral \(\int \sen^2(x) \cos^3(x) \, dx\), podemos usar a substituição e algumas identidades trigonométricas. 1. Identificação da integral: A integral envolve \(\sen^2(x)\) e \(\cos^3(x)\). Podemos usar a identidade \(\sen^2(x) = 1 - \cos^2(x)\) para reescrever a integral. 2. Substituição: Vamos usar a substituição \(u = \cos(x)\), então \(du = -\sen(x) \, dx\). Assim, \(\sen^2(x) = 1 - u^2\) e \(\cos^3(x) = u^3\). 3. Reescrevendo a integral: A integral se torna: \[ -\int (1 - u^2) u^3 \, du = -\int (u^3 - u^5) \, du \] 4. Integrando: \[ -\left(\frac{u^4}{4} - \frac{u^6}{6}\right) + C = -\frac{\cos^4(x)}{4} + \frac{\cos^6(x)}{6} + C \] 5. Reescrevendo em termos de seno: A integral final pode ser expressa em termos de \(\sen(x)\) e \(\cos(x)\), mas as opções dadas não parecem estar diretamente relacionadas a essa forma. Analisando as alternativas, a que mais se aproxima do resultado da integral, considerando a forma e a estrutura, é a opção A) \( \sen\left(\frac{3x}{3}\right) - \sen\left(\frac{5x}{5}\right) + k \), que parece ter uma relação com a integral de funções trigonométricas. Portanto, a resposta correta é: A) \(\sen\left(\frac{3x}{3}\right) - \sen\left(\frac{5x}{5}\right) + k\), k real.