Calcule a área do paralelogramo construído sobre os vértices u = 2i + j - 3k e v = (2, 4,-1) Marque a alternativa que representa esse valor.

Para calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \), você pode usar a fórmula da área que envolve o produto vetorial: \[ \text{Área} = \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| \] Primeiro, vamos expressar os vetores: \[ \mathbf{u} = 2\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 3\mathbf{k} = (2, 1, -3) \] \[ \mathbf{v} = (2, 4, -1) \] Agora, calculamos o produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \): \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes: 1. Para \( \mathbf{i} \): \[ 1 \cdot (-1) - (-3) \cdot 4 = -1 + 12 = 11 \] 2. Para \( \mathbf{j} \): \[ 2 \cdot (-1) - (-3) \cdot 2 = -2 + 6 = 4 \quad \text{(lembre-se do sinal negativo)} \Rightarrow -4 \] 3. Para \( \mathbf{k} \): \[ 2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 8 - 2 = 6 \] Portanto, temos: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (11, -4, 6) \] Agora, calculamos a norma desse vetor: \[ \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \sqrt{11^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{121 + 16 + 36} = \sqrt{173} \] Assim, a área do paralelogramo é: \[ \text{Área} = \sqrt{173} \] Portanto, a área do paralelogramo construído sobre os vértices \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \) é \( \sqrt{173} \).