Para encontrar a derivada da função \(f(x) = e^{2x}\sin(3x)\), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\) é dada por: \[ (uv)' = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \(u(x) = e^{2x}\) e \(v(x) = \sin(3x)\). Agora, vamos calcular as derivadas: 1. \(u'(x) = 2e^{2x}\) (derivada de \(e^{2x}\)). 2. \(v'(x) = 3\cos(3x)\) (derivada de \(\sin(3x)\)). Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2e^{2x})\sin(3x) + (e^{2x})(3\cos(3x)) \] Isso resulta em: \[ f'(x) = 2e^{2x}\sin(3x) + 3e^{2x}\cos(3x) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(2e^{2x}\sin(3x) + 3e^{2x}\cos(3x)\) - Esta é a derivada correta. b) \(e^{2x}(2\sin(3x) + 3\cos(3x))\) - Esta é uma forma equivalente, mas não é a forma mais direta. c) \(e^{2x}(3\sin(3x) + 2\cos(3x))\) - Esta não está correta. d) \(e^{2x}(6\sin(3x) + 9\cos(3x))\) - Esta não está correta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(2e^{2x}\sin(3x) + 3e^{2x}\cos(3x)\).