33GB6 logica

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**Resposta:** b) 5 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k\). Aqui, \(k = 5\). 
 
2. **Determine a integral:** 
 \(\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx\) 
 a) \(x^3 - 2x^2 + x + C\) 
 b) \(x^3 - 2x^2 + C\) 
 c) \(x^3 - 4x^2 + x + C\) 
 d) \(x^3 - 4x^2 + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^3 - 2x^2 + x + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(3x^2\) é \(x^3\), de \(-4x\) é \(-2x^2\) e de \(1\) é \(x\), 
adicionando a constante \(C\). 
 
3. **Qual é a derivada de \(f(x) = e^{2x}\sin(3x)\)?** 
 a) \(2e^{2x}\sin(3x) + 3e^{2x}\cos(3x)\) 
 b) \(e^{2x}(2\sin(3x) + 3\cos(3x))\) 
 c) \(e^{2x}(3\sin(3x) + 2\cos(3x))\) 
 d) \(e^{2x}(6\sin(3x) + 9\cos(3x))\) 
 **Resposta:** a) \(2e^{2x}\sin(3x) + 3e^{2x}\cos(3x)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar \(f(x)\). 
 
4. **Calcule a integral definida:** 
 \(\int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + 5) \, dx\) 
 a) 6 
 b) 5 
 c) 4 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 6 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\left[ x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x \right]_{0}^{1} 
= 1 - \frac{2}{3} + 5 = 6\). 
 
5. **Qual é o valor de \(f''(x)\) para \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)?** 
 a) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 b) \(-\frac{2}{(x^2 + 1)^2}\) 
 c) \(\frac{4}{(x^2 + 1)^2}\) 
 d) \(-\frac{4}{(x^2 + 1)^2}\) 
 **Resposta:** c) \(\frac{4}{(x^2 + 1)^2}\) 
 **Explicação:** A primeira derivada é \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) e a segunda derivada é 
encontrada aplicando a regra do quociente. 
 
6. **Encontre o valor de \(x\) que minimiza a função \(f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2\).** 
 a) 0 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A derivada \(f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 36x\) é igual a zero em \(x = 2\). A 
segunda derivada confirma que é um mínimo. 
 
7. **Calcule a série de Taylor de \(f(x) = \cos(x)\) em torno de \(x = 0\) até o termo de 
\(x^4\).** 
 a) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\) 
 b) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{12}\) 
 c) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{6}\) 
 d) \(1 - \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{24}\) 
 **Resposta:** a) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \(\cos(x)\) é dada por \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-
1)^n x^{2n}}{(2n)!}\). 
 
8. **Qual é o resultado da integral imprópria:** 
 \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\) 
 a) 1 
 b) 2 
 c) \(\infty\) 
 d) 0 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** A integral converge para \(\lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b} 
= 0 + 1 = 1\). 
 
9. **Determine o valor de \(c\) tal que a função \(f(x) = x^3 - 3cx + 2\) tenha uma raiz 
dupla.** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** Para ter uma raiz dupla, \(f'(x)\) deve ser zero na raiz. Isso leva a \(c = 2\). 
 
10. **Calcule o limite:** 
 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - 5}{5x^3 + 4x + 1}\) 
 a) 0 
 b) \(\frac{3}{5}\) 
 c) \(\infty\) 
 d) 1 
 **Resposta:** b) \(\frac{3}{5}\) 
 **Explicação:** Divida todos os termos por \(x^3\) e aplique a regra do limite, 
resultando em \(\frac{3}{5}\). 
 
11. **Qual é a integral de \(\int e^{x^2} \, dx\)?** 
 a) Não tem forma fechada 
 b) \(\frac{e^{x^2}}{2x}\) 
 c) \(e^{x^2}\) 
 d) \(\sin(x^2)\) 
 **Resposta:** a) Não tem forma fechada