Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dt} = y + 1 \) utilizando o método de Euler, vamos seguir os passos: 1. Definir a condição inicial: \( y(0) = 1 \). 2. Definir o passo temporal: \( \Delta t = 0,1 \). 3. Calcular os valores de \( y \) para \( t = 0, 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5 \). A fórmula do método de Euler é: \[ y_{n+1} = y_n + f(t_n, y_n) \cdot \Delta t \] onde \( f(t, y) = y + 1 \). Agora, vamos calcular passo a passo: - Para \( t_0 = 0 \): - \( y_0 = 1 \) - \( f(0, 1) = 1 + 1 = 2 \) - \( y_1 = 1 + 2 \cdot 0,1 = 1 + 0,2 = 1,2 \) - Para \( t_1 = 0,1 \): - \( y_1 = 1,2 \) - \( f(0,1, 1,2) = 1,2 + 1 = 2,2 \) - \( y_2 = 1,2 + 2,2 \cdot 0,1 = 1,2 + 0,22 = 1,42 \) - Para \( t_2 = 0,2 \): - \( y_2 = 1,42 \) - \( f(0,2, 1,42) = 1,42 + 1 = 2,42 \) - \( y_3 = 1,42 + 2,42 \cdot 0,1 = 1,42 + 0,242 = 1,662 \) - Para \( t_3 = 0,3 \): - \( y_3 = 1,662 \) - \( f(0,3, 1,662) = 1,662 + 1 = 2,662 \) - \( y_4 = 1,662 + 2,662 \cdot 0,1 = 1,662 + 0,2662 = 1,9282 \) - Para \( t_4 = 0,4 \): - \( y_4 = 1,9282 \) - \( f(0,4, 1,9282) = 1,9282 + 1 = 2,9282 \) - \( y_5 = 1,9282 + 2,9282 \cdot 0,1 = 1,9282 + 0,29282 = 2,2211 \) Portanto, ao final do cálculo, temos que a solução aproximada para \( y(0,5) \) é aproximadamente \( 2,2211 \). Assim, a alternativa correta é: a. 2,221.