Para resolver a questão utilizando o princípio da indução matemática, precisamos verificar a validade da expressão dada para \( n \) e, em seguida, para \( n + 1 \). A soma \( 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) \) pode ser expressa como \( \sum_{k=1}^{n} (4k - 2) \). A fórmula que queremos provar é \( 2n^2 \). 1. Base da indução: Para \( n = 1 \): \[ 2 = 2(1^2) \quad \text{(verdadeiro)} \] 2. Passo da indução: Suponha que a afirmação é verdadeira para \( n = k \): \[ 2 + 6 + 10 + ... + (4k - 2) = 2k^2 \] Agora, precisamos provar que é verdadeira para \( n = k + 1 \): \[ 2 + 6 + 10 + ... + (4k - 2) + (4(k + 1) - 2) = 2k^2 + (4k + 2) \] Simplificando: \[ 2k^2 + 4k + 2 = 2(k^2 + 2k + 1) = 2(k + 1)^2 \] Portanto, a afirmação é verdadeira para \( n = k + 1 \). Agora, analisando as alternativas: a. \( 2k^2 + 4k + 2 = 2k^2 + 4k + 2 \) - Verdadeira, mas não é uma prova. b. \( 4k + 2k - 1 = 4k + 2k - 1 \) - Verdadeira, mas não é uma prova. c. \( 2k^2 = 2k^2 \) - Verdadeira, mas não é uma prova. d. \( 4k - 2k = 4k - 2k \) - Verdadeira, mas não é uma prova. e. \( 26k = 26k \) - Verdadeira, mas não é uma prova. Nenhuma das alternativas apresenta uma prova completa do princípio da indução, mas a alternativa que mais se aproxima de uma expressão válida e que é verdadeira é a a), pois é uma identidade verdadeira. Portanto, a resposta correta é a) 2k² + 4k + 2 = 2k² + 4k + 2.