Para determinar a derivada da função \( G(t) = F(t^2 + 1) \) no ponto \( t = 1 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar \( G(t) \): Dado \( F(t) = \langle t^2, 3t + 1, e^t \rangle \), substituímos \( t^2 + 1 \) na função \( F \): \[ G(t) = F(t^2 + 1) = \langle (t^2 + 1)^2, 3(t^2 + 1) + 1, e^{t^2 + 1} \rangle \] 2. Calcular \( G(t) \): - O primeiro componente: \( (t^2 + 1)^2 = t^4 + 2t^2 + 1 \) - O segundo componente: \( 3(t^2 + 1) + 1 = 3t^2 + 3 + 1 = 3t^2 + 4 \) - O terceiro componente: \( e^{t^2 + 1} \) Portanto, temos: \[ G(t) = \langle t^4 + 2t^2 + 1, 3t^2 + 4, e^{t^2 + 1} \rangle \] 3. Derivar \( G(t) \): Agora, derivamos \( G(t) \): \[ G'(t) = \left\langle \frac{d}{dt}(t^4 + 2t^2 + 1), \frac{d}{dt}(3t^2 + 4), \frac{d}{dt}(e^{t^2 + 1}) \right\rangle \] - Derivada do primeiro componente: \( 4t^3 + 4t \) - Derivada do segundo componente: \( 6t \) - Derivada do terceiro componente: \( e^{t^2 + 1} \cdot 2t \) (usando a regra da cadeia) Assim, temos: \[ G'(t) = \langle 4t^3 + 4t, 6t, 2te^{t^2 + 1} \rangle \] 4. Avaliar \( G'(t) \) no ponto \( t = 1 \): Substituindo \( t = 1 \): - Primeiro componente: \( 4(1)^3 + 4(1) = 4 + 4 = 8 \) - Segundo componente: \( 6(1) = 6 \) - Terceiro componente: \( 2(1)e^{(1)^2 + 1} = 2e^2 \) Portanto, temos: \[ G'(1) = \langle 8, 6, 2e^2 \rangle \] 5. Verificar as alternativas: A alternativa correta é: b) \( \langle 8, 6, 2e^2 \rangle \) (Correta) Portanto, a resposta correta é a alternativa b).