Grátis: Considere as coordenadas polares (ρ,θ). Se ρ é um valor constante e θ varia, qual é a forma geométrica resultante? a) Um círculo centrado na origem...

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Considere as coordenadas polares (ρ,θ).
Se ρ é um valor constante e θ varia, qual é a forma geométrica resultante?
a) Um círculo centrado na origem. (Correta)
b) Uma linha reta através da origem.
c) Uma espiral.
d) Uma parábola.

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Teste de Cálculo a Múltiplas Variáveis

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Vamos analisar a questão sobre coordenadas polares. Nas coordenadas polares, \( \rho \) representa a distância do ponto à origem e \( \theta \) representa o ângulo em relação ao eixo positivo \( x \). Se \( \rho \) é um valor constante, isso significa que estamos sempre a uma distância fixa da origem, independentemente do ângulo \( \theta \) que varia. Portanto, ao variar \( \theta \), o ponto se moverá ao redor da origem, formando um círculo. Agora, analisando as alternativas: a) Um círculo centrado na origem. (Correta) - Esta opção está correta, pois descreve exatamente a forma geométrica resultante. b) Uma linha reta através da origem. - Isso não é correto, pois uma linha reta só seria formada se \( \theta \) fosse constante e \( \rho \) variando. c) Uma espiral. - Uma espiral ocorre quando \( \rho \) varia com \( \theta \), o que não é o caso aqui. d) Uma parábola. - Uma parábola não é formada em coordenadas polares com \( \rho \) constante. Portanto, a resposta correta é: a) Um círculo centrado na origem.

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A área de uma região é definida pela equação de coordenadas polares ρ=4senθ no intervalo 0≤θ≤π.
Determine a área dessa região.
a) 8π
b) 2π
c) 4π (Correta)
d) 16π

Considere a função vetorial F(t)=⟨t2,3t+1,et⟩.
Determine a derivada da função G(t)=F(t2+1) no ponto t=1.
a) <2,3,e>
b) <8,6,2e2> (Correta)
c) <4,6,2e>
d) <8,3,e2>

A equação polar da curva definida pela função vetorial F(t)=⟨3cost,3sent⟩.
A equação polar da curva definida pela função vetorial F(t)=⟨3cost,3sent⟩ é:
a) θ=3
b) ρ=3 (Correta)
c) ρ=3cosθ
d) ρ=3senθ

Um objeto se move em uma curva definida pela função vetorial r(t)=⟨t2,4t,t3⟩.
Calcule a componente normal da aceleração no ponto t=1.
a) 3712 (Correta)
b) 1220
c) 296
d) 1710

Qual é o valor de limt→1⟨t2+1,t−1t2−1,t−1sen(t−1)⟩?
a) <2,2,1> (Correta)
b) <1,1,1>
c) <2,1,1>
d) <2,2,0>

Se uma função vetorial r(t) representa a posição de uma partícula em movimento.
O que a derivada r′(t) representa geometricamente?
a) A curvatura da trajetória da partícula.
b) Um vetor normal à trajetória da partícula.
c) Um vetor que é tangente à trajetória da partícula. (Correta)
d) O vetor aceleração da partícula.

Para que a função vetorial F(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩ seja contínua em um ponto t=a.
É necessário que:
a) Apenas f(t) e g(t) sejam contínuas em t=a.
b) Apenas o limite da função F(t) em t=a exista.
c) Apenas f(t), g(t) e h(t) sejam diferenciáveis em t=a.
d) Todas as funções componentes f(t),g(t),h(t) sejam contínuas em t=a. (Correta)

Seja f(x,y,z)=x2y−2y2z+3xz2.
Determine o vetor gradiente de f(x,y,z).
a) <2xy,x2−4yz,−2y2+6xz>
b) <2xy+3z2,x2−4yz,−2y2+6xz> (Correta)
c) <2xy,x2−4yz,3z2−2y2>
d) <2xy+3z2,x2−4yz,−4yz+6xz>

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Determine a derivada da função G(t)=F(t2+1) no ponto t=1.
a) <2,3,e>
b) <8,6,2e2> (Correta)
c) <4,6,2e>
d) <8,3,e2>

A equação polar da curva definida pela função vetorial F(t)=⟨3cost,3sent⟩.
A equação polar da curva definida pela função vetorial F(t)=⟨3cost,3sent⟩ é:
a) θ=3
b) ρ=3 (Correta)
c) ρ=3cosθ
d) ρ=3senθ

Um objeto se move em uma curva definida pela função vetorial r(t)=⟨t2,4t,t3⟩.
Calcule a componente normal da aceleração no ponto t=1.
a) 3712 (Correta)
b) 1220
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b) <1,1,1>
c) <2,1,1>
d) <2,2,0>

Seja f(x,y,z)=x2y−2y2z+3xz2.
Determine o vetor gradiente de f(x,y,z).
a) <2xy,x2−4yz,−2y2+6xz>
b) <2xy+3z2,x2−4yz,−2y2+6xz> (Correta)
c) <2xy,x2−4yz,3z2−2y2>
d) <2xy+3z2,x2−4yz,−4yz+6xz>

Determine a derivada direcional de f(x,y)=x2−y2 no ponto P=(1,2) na direção do vetor v=⟨3,−4⟩.
a) 10
b) −510
c) 522 (Correta)
d) 12

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b) −510
c) 522 (Correta)
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