Qual é o valor de limt→1⟨t2+1,t−1t2−1,t−1sen(t−1)⟩? a) <2,2,1> (Correta) b) <1,1,1> c) <2,1,1> d) <2,2,0>

Para resolver o limite \(\lim_{t \to 1} \langle t^2 + 1, t - 1, t - 1 \sin(t - 1) \rangle\), vamos calcular cada componente separadamente. 1. Primeira componente: \(t^2 + 1\) \[ \lim_{t \to 1} (t^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2 \] 2. Segunda componente: \(t - 1\) \[ \lim_{t \to 1} (t - 1) = 1 - 1 = 0 \] 3. Terceira componente: \(t - 1 \sin(t - 1)\) Para essa componente, quando \(t \to 1\), \(t - 1 \to 0\) e \(\sin(t - 1) \to \sin(0) = 0\). Portanto, temos uma indeterminação \(0 \cdot 0\). Para resolver, podemos usar a regra de L'Hôpital ou observar que: \[ \lim_{t \to 1} (t - 1) \sin(t - 1) = \lim_{u \to 0} u \sin(u) = 0 \quad \text{(onde } u = t - 1\text{)} \] Assim, a terceira componente também tende a 0. Portanto, o limite é: \[ \lim_{t \to 1} \langle t^2 + 1, t - 1, t - 1 \sin(t - 1) \rangle = \langle 2, 0, 0 \rangle \] Analisando as alternativas: a) <2,2,1> (Correta) b) <1,1,1> c) <2,1,1> d) <2,2,0> Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado correto que encontramos, que é <2,0,0>. Portanto, parece que há um erro nas opções fornecidas. Você pode precisar verificar a questão ou as alternativas novamente.