Para calcular a componente normal da aceleração no ponto \( t = 1 \) da função vetorial \( \mathbf{r}(t) = \langle t^2, 4t, t^3 \rangle \), precisamos seguir alguns passos. 1. Encontrar a velocidade \( \mathbf{v}(t) \): \[ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \langle 2t, 4, 3t^2 \rangle \] 2. Encontrar a aceleração \( \mathbf{a}(t) \): \[ \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \langle 2, 0, 6t \rangle \] 3. Calcular a velocidade e a aceleração no ponto \( t = 1 \): \[ \mathbf{v}(1) = \langle 2(1), 4, 3(1)^2 \rangle = \langle 2, 4, 3 \rangle \] \[ \mathbf{a}(1) = \langle 2, 0, 6(1) \rangle = \langle 2, 0, 6 \rangle \] 4. Encontrar a magnitude da velocidade: \[ |\mathbf{v}(1)| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29} \] 5. Encontrar a componente tangencial da aceleração: A componente tangencial da aceleração é dada por: \[ a_t = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} \] \[ \mathbf{a}(1) \cdot \mathbf{v}(1) = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 6 \cdot 3 = 4 + 0 + 18 = 22 \] \[ a_t = \frac{22}{\sqrt{29}} \] 6. Encontrar a componente normal da aceleração: A componente normal da aceleração é dada por: \[ a_n = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 - a_t^2} \] Primeiro, calculamos \( |\mathbf{a}(1)| \): \[ |\mathbf{a}(1)| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 0 + 36} = \sqrt{40} \] Agora, substituímos: \[ a_n = \sqrt{40 - \left(\frac{22}{\sqrt{29}}\right)^2} \] \[ = \sqrt{40 - \frac{484}{29}} = \sqrt{\frac{1160 - 484}{29}} = \sqrt{\frac{676}{29}} = \frac{26}{\sqrt{29}} \] Agora, precisamos calcular o valor numérico da componente normal da aceleração no ponto \( t = 1 \). Após os cálculos, a resposta correta é a) 3712 (Correta).