Determine a derivada direcional de f(x,y)=x2−y2 no ponto P=(1,2) na direção do vetor v=⟨3,−4⟩. a) 10 b) −510 c) 522 (Correta) d) 12

Para determinar a derivada direcional da função \( f(x,y) = x^2 - y^2 \) no ponto \( P = (1,2) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = \langle 3, -4 \rangle \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o vetor unitário na direção de \( \mathbf{v} \): \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] O vetor unitário \( \mathbf{u} \) é: \[ \mathbf{u} = \left\langle \frac{3}{5}, \frac{-4}{5} \right\rangle \] 2. Calcular o gradiente de \( f \): \[ \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \left( 2x, -2y \right) \] Avaliando no ponto \( P = (1,2) \): \[ \nabla f(1,2) = \left( 2 \cdot 1, -2 \cdot 2 \right) = (2, -4) \] 3. Calcular a derivada direcional: A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} f \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \] Calculando o produto escalar: \[ D_{\mathbf{u}} f = (2, -4) \cdot \left\langle \frac{3}{5}, \frac{-4}{5} \right\rangle = 2 \cdot \frac{3}{5} + (-4) \cdot \frac{-4}{5} = \frac{6}{5} + \frac{16}{5} = \frac{22}{5} \] Portanto, a derivada direcional de \( f \) no ponto \( P \) na direção do vetor \( \mathbf{v} \) é \( \frac{22}{5} \). Analisando as alternativas, a correta é: c) \( 522 \) (que parece ser uma representação incorreta, mas se refere ao valor correto que calculamos).