Para determinar o vetor gradiente da função \( f(x,y,z) = x^2y - 2y^2z + 3xz^2 \), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis \( x \), \( y \) e \( z \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3z^2 \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 - 4yz \] 3. Derivada parcial em relação a \( z \): \[ \frac{\partial f}{\partial z} = -2y^2 + 6xz \] Assim, o vetor gradiente \( \nabla f \) é dado por: \[ \nabla f = \left< \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right> = \left< 2xy + 3z^2, x^2 - 4yz, -2y^2 + 6xz \right> \] Agora, analisando as alternativas: a) \( <2xy,x^2−4yz,−2y^2+6xz> \) - Incorreta, pois falta o termo \( 3z^2 \) na primeira componente. b) \( <2xy+3z^2,x^2−4yz,−2y^2+6xz> \) - Correta, pois corresponde exatamente ao vetor gradiente que encontramos. c) \( <2xy,x^2−4yz,3z^2−2y^2> \) - Incorreta, pois a terceira componente está errada. d) \( <2xy+3z^2,x^2−4yz,−4yz+6xz> \) - Incorreta, pois a terceira componente também está errada. Portanto, a alternativa correta é: b) <2xy+3z^2,x^2−4yz,−2y^2+6xz>.