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Álgebra Linear

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Se um autovalor de uma matriz A e zero, qual e a implicacao para A?
a) A matriz A e invertivel.
b) A matriz A e singular, ou seja, nao invertivel.
c) A matriz A tem determinante igual a um.
d) A matriz A e diagonal.
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Quando um autovalor de uma matriz \( A \) é zero, isso implica que a matriz não possui uma inversa. Isso ocorre porque uma matriz é invertível se e somente se todos os seus autovalores são diferentes de zero. Portanto, se um autovalor é zero, a matriz é singular. Vamos analisar as alternativas: a) A matriz A é invertível. - Incorreto, pois um autovalor zero indica que a matriz não é invertível. b) A matriz A é singular, ou seja, não invertível. - Correto, pois a presença de um autovalor zero implica que a matriz é singular. c) A matriz A tem determinante igual a um. - Incorreto, pois o determinante de uma matriz é o produto de seus autovalores. Se um autovalor é zero, o determinante é zero. d) A matriz A é diagonal. - Incorreto, pois uma matriz pode ter autovalores zero e não ser diagonal. Portanto, a alternativa correta é: b) A matriz A é singular, ou seja, não invertível.

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Qual das alternativas abaixo descreve corretamente um autovetor de uma matriz A?
a) Um vetor que, ao ser multiplicado por A, se transforma em outro vetor completamente diferente.
b) Um vetor que, ao ser multiplicado por A, mantem a mesma direcao, podendo apenas ser escalonado por um numero real.
c) Um vetor que e sempre nulo quando multiplicado por A.
d) Um vetor ortogonal a todos os vetores de A.

Se v e um autovetor de uma matriz A com autovalor , qual e o efeito de multiplicar v por A?
a) O vetor resultante sera zero.
b) O vetor resultante sera perpendicular a v.
c) O vetor resultante sera uma escala de v pelo fator .
d) O vetor resultante tera uma direcao aleatoria.

Considerando a matriz A=[2 0; 0 3], qual dos seguintes vetores e um autovetor de A?
a) [1; 1]
b) [1; 0]
c) [0; 0]
d) [1; 1]

Qual das seguintes afirmacoes sobre autovalores e autovetores e verdadeira?
a) Toda matriz quadrada tem autovalores e autovetores reais.
b) Nem toda matriz quadrada possui autovalores e autovetores.
c) Uma matriz diagonal sempre possui seus vetores da base canonica como autovetores.
d) Autovalores e autovetores sao sempre numeros complexos.

Para encontrar os autovalores de uma matriz A, devemos:
a) Resolver a equacao det(AI)=0.
b) Calcular A^(-1) e multiplicar pelo vetor.
c) Somar todos os elementos da matriz.
d) Multiplicar A por um vetor aleatorio.

Qual e a relacao entre autovalores e o determinante de uma matriz A?
a) O determinante de A e igual a soma dos autovalores.
b) O determinante de A e igual ao produto dos autovalores.
c) O determinante de A e sempre zero se A tiver autovalores.
d) Nao existe relacao entre determinante e autovalores.

Um autovetor nunca pode ser:
a) O vetor nulo.
b) Um vetor da base canonica.
c) Um vetor escalavel.
d) Um vetor real ou complexo.

Se uma matriz A possui dois autovalores iguais, isso significa necessariamente que:
a) A matriz e diagonal.
b) Os autovetores correspondentes sao linearmente dependentes.
c) A matriz pode ter uma multiplicidade geometrica maior que um.
d) Nao e possivel determinar nada sobre os autovetores.

Se v1 e v2 sao autovetores de A com autovalores distintos 1 e 2, entao:
a) v1 e v2 sao sempre paralelos.
b) v1 e v2 sao linearmente independentes.
c) v1 + v2 nao e um autovetor.
d) v1 ou v2 deve ser nulo.

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