Considerando a matriz A=[2 0; 0 3], qual dos seguintes vetores e um autovetor de A? a) [1; 1] b) [1; 0] c) [0; 0] d) [1; 1]

Para determinar qual vetor é um autovetor da matriz \( A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \), precisamos verificar se, ao multiplicar a matriz \( A \) pelo vetor, o resultado é um múltiplo escalar do vetor original. Os autovalores da matriz \( A \) são \( 2 \) e \( 3 \). Portanto, os autovetores correspondentes a esses autovalores podem ser encontrados. Vamos analisar as opções: a) \( [1; 1] \): \[ A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \] Não é um múltiplo escalar de \( [1; 1] \). b) \( [1; 0] \): \[ A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} \] É um múltiplo escalar de \( [1; 0] \) (escalar 2). c) \( [0; 0] \): O vetor nulo não é considerado um autovetor. d) \( [1; 1] \) (repetido): Já analisado na opção (a). Portanto, a alternativa correta é: b) [1; 0].