A expansão de expressões logarítmicas é um processo fundamental em álgebra e cálculo, permitindo simplificar e resolver equações complexas. Usar as pr

Question

A expansão de expressões logarítmicas é um processo fundamental em álgebra e cálculo, permitindo simplificar e resolver equações complexas. Usar as propriedades dos logaritmos, como as do produto, quociente e potência, é essencial para transformar expressões logarítmicas em formas mais manejáveis. Considere a expressão logarítmica log abre parênteses numerador x ao quadrado vezes raiz quadrada de y sobre denominador z ao cubo fim da fração fecha parênteses. Assinale a alternativa que apresenta sua expansão correta usando as propriedades dos logaritmos. Questão 8Resposta A. numerador 2 log abre parênteses x fecha parênteses mais 1 meio log abre parênteses y fecha parênteses sobre denominador 3 log abre parênteses z fecha parênteses fim da fração B. 2 log abre parênteses x fecha parênteses mais 1 meio log abre parênteses y fecha parênteses menos 3 log abre parênteses z fecha parênteses C. 2 sobre 3 vezes numerador log abre parênteses x fecha parênteses vezes log abre parênteses y fecha parênteses sobre denominador log abre parênteses z fecha parênteses fim da fração D. 1 terço vezes abre parênteses log abre parênteses x fecha parênteses mais log abre parênteses y fecha parênteses menos log abre parênteses z fecha parênteses fecha parênteses E. log abre parênteses x ao quadrado fecha parênteses mais log abre parênteses y fecha parênteses menos log abre parênteses z ao cubo fecha parênteses

Ed · Answer

Vamos analisar a expressão dada:

$$
\log \left( \frac{x^2 \times \sqrt{y}}{z^3} \right)
$$

Primeiro, aplicamos a propriedade do logaritmo do quociente:

$$
\log \left( \frac{A}{B} \right) = \log A - \log B
$$

Então:

$$
\log \left( x^2 \times \sqrt{y} \right) - \log \left( z^3 \right)
$$

Depois, aplicamos a propriedade do logaritmo do produto:

$$
\log (A \times B) = \log A + \log B
$$

Logo:

$$
\log x^2 + \log \sqrt{y} - \log z^3
$$

Agora, aplicamos a propriedade da potência:

$$
\log a^b = b \log a
$$

Sabendo que $\sqrt{y} = y^{1/2}$, temos:

$$
2 \log x + \frac{1}{2} \log y - 3 \log z
$$

Comparando com as alternativas, a correta é a alternativa:

b) $2 \log (x) + \frac{1}{2} \log (y) - 3 \log (z)$

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