Vamos responder cada questão de forma direta e objetiva: Questão 1: Equação diferencial de terceira ordem - Ordem é o maior número de derivadas presentes. - Alternativa E: \( \frac{d^4 x}{dt^4} = -2x \) é de quarta ordem. - Alternativa D: parece confusa, mas menciona derivada de terceira ordem. - Alternativa C: \( s'' + \cos(x)s' = 4x \) é de segunda ordem. - Alternativa B: envolve derivadas de segunda ordem. - Alternativa A: não é diferencial. Resposta correta: D --- Questão 2: Equação diferencial de grau dois - Grau é o expoente da maior derivada, considerando que a equação esteja polinomial nas derivadas. - Alternativa C: \( (s'')^2 + \cos(x)(s')^3 = 4x \) tem derivada segunda elevada ao quadrado → grau 2. Resposta correta: C --- Questão 3: Equação diferencial linear homogênea - Linear: derivadas aparecem de forma linear (sem potências ou produtos entre elas). - Homogênea: lado direito igual a zero. - Analisando: - A: lado direito diferente de zero → não homogênea. - B: \( s'' + \cos(x)s' = 4x \) → lado direito diferente de zero → não homogênea. - C: \( 2xy' - \cos(x)y'' + 4e^y = 6x \) → termo \( e^y \) não linear. - D: \( \frac{dv}{du} + 3v \frac{d^2 v}{du^2} = 5u \) → não linear (produto de derivadas). - E: \( uv - v' + v''(2v' + 1) = 0 \) → não linear (produto de derivadas). Nenhuma é linear homogênea, mas a que mais se aproxima é a B, que é linear, porém não homogênea. Resposta correta: Nenhuma alternativa apresenta equação linear homogênea. Se for para escolher a mais próxima, seria B (linear, não homogênea). --- Questão 4: Ordem e grau da equação \( 2(u''')^2 - 2v^5 u + (u'')^3 = 4 \) - Ordem: maior derivada é \( u''' \) → ordem 3. - Grau: maior expoente da maior derivada (aqui \( (u''')^2 \)) → grau 2. Resposta correta: E (Ordem 3 e grau 2) --- Questão 5: Classificação da equação \( 2y' - \cos(x) y'' + 3y = 5 \) - Linear: sim, pois as derivadas aparecem linearmente. - Coeficientes variáveis: sim, pois \( -\cos(x) \) depende de \( x \). - Homogênea: não, pois o lado direito é 5 (não zero). Resposta correta: C (Linear, coeficientes variáveis e não homogênea) --- Questão 6: Valores de \( f(x,y) \) e \( g(x,y) \) para que \( f(x,y) y'' - 2 y' + y = x g(x,y) \) seja de segunda ordem, linear e homogênea - Linear e homogênea: lado direito deve ser zero → \( x g(x,y) = 0 \) → \( g(x,y) = 0 \). - Para ser de segunda ordem, \( f(x,y) \neq 0 \). Resposta correta: C ( \( f(x,y) = y \) e \( g(x,y) = 0 \) ) --- Resumo das respostas: 1) D 2) C 3) Nenhuma (se for para escolher, B) 4) E 5) C 6) C