BIK0102_2020 QS-Aula07 (1)

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O Nascimento da Mecânica Quântica
As Estrelas da “Nova Onda”
Radiação de corpo negro: A energia da luz é quantizada...
hc
E hν
λ
= =
h = constante de Planck
O Colapso da Mecânica Clássica
A quantização da energia é, 
conforme veremos, um conceito 
central em toda a Mecânica 
Quântica.
A dependência do efeito 
fotoelétrico com o comprimento 
de onda só pode ser explicada 
em termos da quantização da luz 
(fótons → natureza corpuscular).
Efeito fotoelétrico: A energia da luz é quantizada!!!
O Colapso da Mecânica Clássica
hν K W= +
fótonE hν=
O Nascimento da Mecânica Quântica
O comprimento de onda de de Broglie
Assim como as ondas possuem 
uma natureza corpuscular, todas
as partículas possuem uma
natureza ondulatória.
h
λ
p
=
Era preciso o desenvolvimento 
de uma nova teoria capaz de 
descrever e prever o 
comportamento bizarro destas 
partículas...
O Nascimento da Mecânica Quântica
Entram em cena as estrelas da “nova onda”
Equação de Schrödinger
Mecânica Quântica
Representação de Heisenberg 
Mecânica Quântica Matricial
Equação de Dirac 
Mecânica Quântica Relativística
E, também, Max Born, Wolfgang Pauli, Enrico Fermi, Freeman Dyson, Richard Feyman...
A Equação de Schrödinger
i Ψ(x, t) HΨ(x, t)
t
∂
=
∂
ℏ
HΨ(x) EΨ(x)=
���� Equação de Schrödinger Dependente do Tempo:
���� Equação de Schrödinger Independente do Tempo:
- ψ(x): Função de Onda;
- E: Energia Total (Cinética + Potencial) do Sistema;
- H: Operador Hamiltoniano;
A Partícula no Poço de Potencial Infinito 
Aplicações da Equação de Schrödinger
Energia Potencial V(x) em função da Posição (x) 
A Partícula no Poço de Potencial Infinito 
Aplicações da Equação de Schrödinger
���� Quando resolvemos a Equação de Schrödinger, 
obtemos sempre duas coisas:
I. Um conjunto de funções de onda, ψn(x);
n
2 nπx
Ψ (x) sen
L L
n 1,2,3,....
 
 =    
=
A Partícula no Poço de Potencial Infinito 
Aplicações da Equação de Schrödinger
���� Quando resolvemos a Equação de Schrödinger, 
obtemos sempre duas coisas:
I. Um conjunto de funções de onda, ψn(x);
II. Um conjunto de energias, En;
(mais precisamente, um conjunto de valores 
permitidos para a energia)
n
2 nπx
Ψ (x) sen
L L
n 1,2,3,....
 
 =    
=
2 2
n 2
n h
E
8mL
n 1,2,3,....
=
=
A Partícula no Poço de Potencial Infinito 
Aplicações da Equação de Schrödinger
���� Quais são a posição e a energia de uma partícula 
localizada dentro do poço de potencial infinito?
partícula de massa m
���� A Mecânica Clássica diz o seguinte:
I. A partícula pode ter qualquer energia;
���� A Mecânica Clássica diz o seguinte:
I. A partícula pode ter qualquer energia;
II. A partícula pode estar localizada em qualquer lugar 
(dentro do poço, é claro!) com igual probabilidade;
���� A Mecânica Clássica diz o seguinte:
I. A partícula pode ter qualquer energia;
II. A partícula pode estar localizada em qualquer lugar 
(dentro do poço, é claro!) com igual probabilidade;
III. Em qualquer instante de tempo, a partícula ocupará
uma posição particular que pode ser especificada com 
uma precisão arbitrariamente grande;
���� A Mecânica Quântica produz um conjunto de 
previsões completamente diferentes:
I. A partícula só pode assumir certos valores “permitidos”
de energia. Para o problema do poço de potencial 
infinito, o valor E = 0 NÃO é permitido!
II. Não podemos conhecer nem a trajetória e nem a 
posição exata da partícula quando ela se encontra em 
um dado estado. Sabemos apenas as probabilidades.
n
2 nπx
Ψ (x) sen
L L
 
 =    
2 2
n 2
n h
E
8mL
=
Funções de onda para a 
partícula no poço de potencial 
infinito:
Note que ψ(x=0) = 0 e ψ(x=L) = 0. 
Esta é uma propriedade de 
ondas estacionárias em geral 
(por exemplo, as cordas de uma 
guitarra.)
A Partícula no Poço de Potencial Infinito 
Aplicações da Equação de Schrödinger
n
2 nπx
Ψ (x) sen
L L
n 1,2,3,....
 
 =    
=
Ψ(x) 0 para x 0 e X L= < >
���� Então, afinal de contas, qual é o significado de ψ(x)!?
- A função de onda propriamente dita, não tem 
significado físico;
- Entretanto, |ψ(x)|2 fornece a probabilidade de 
encontrar a partícula no intervalo entre x e x + dx;
(Interpretação probabilística de Max Born)
- |ψ(x)|2 é chamada de densidade de probabilidade;
- |ψ(x)|2 é chamada de densidade de probabilidade...
Este resultado nos informa 
que, para n = 1, a 
partícula tem maior 
probabilidade de ser 
encontrada no centro da 
caixa, ou seja, em x = L/2!
- |ψ(x)|2 é chamada de densidade de probabilidade...
Este resultado nos informa 
que, para n = 1, a 
partícula tem maior 
probabilidade de ser 
encontrada no centro da 
caixa, ou seja, em x = L/2!
Já para n = 2, a partícula 
tem igual probabilidade 
de ser encontrada em x = 
L/4 e em x = 3L/4.
A Partícula no Poço de Potencial Infinito 
Aplicações da Equação de Schrödinger
Note que as funções de onda e 
as energias são indexadas pelo 
número quântico “n”:
n
2 nπx
Ψ (x) sen
L L
n 1,2,3,....
 
 =    
=
2 2
n 2
n h
E
8mL
=
n = 1
n = 5
A Partícula no Poço de Potencial Infinito 
Espectroscopia de absorção e de emissão
5 1 5 1∆E E E hν→ = − =
n = 1
n = 5
Luz será absorvida ou 
emitida apenas se ∆E = hν
O espectro da partícula 
no poço de potencial 
infinito é QUANTIZADO!!!
Estudo do comportamento e das leis do 
movimento para partículas microscópicas. 
ANTECEDENTES: 
 
 Teoria da quantização da energia (Max Planck) e 
efeito fotoelétrico (Einstein): E = h 
 Dualidade onda-partícula (L.de Broglie):  = h / p 
 Princípio de incerteza (Heisenberg): 
.4
h
Δx.Δp 
Mecânica Quântica 
Comportamento Ondulatório da Matéria: 
Comprovação Experimental 
Experimentos de difração usando folhas de alumínio: 
raios-X elétrons 
Modelo Mecânico-Quântico do Átomo 
 Bohr contribuiu significativamente para nossa 
compreensão dos átomos, e sua proposta de que energia 
de um elétron em um átomo é quantizada permanece 
válida. Entretanto, não fornece uma descrição completa do 
comportamento eletrônico nos átomos. 
 
 Devido ao Princípio da Incerteza, não é apropriado 
imaginar o elétron movendo-se ao redor do núcleo numa 
órbita bem definida, do modo como propunha o modelo de 
Bohr. 
 
 O trabalho de Schrödinger forneceu uma descrição mais 
apropriada do átomo em termos da mecânica quântica. É o 
modelo atômico atualmente aceito e que veremos a seguir! 
 
 
Equação de Schrödinger 
Schrödinger propõe uma equação que incorpora tanto o 
comportamento ondulatório como o corpuscular para o 
elétron. A equação de Schrödinger é a base da Mecânica 
Quântica assim como as equações de Newton são a base da 
Mecânica Clássica. 
 
 
  EH ˆ
 ψ(x,y,z): função de onda: representa a onda associada ao 
elétron e descreve o estado do elétron. 
 E: energia total do elétron. 
 Ĥ: operador Hamiltoniano. 
Operador Hamiltoniano 
A equação de Schrödinger é uma equação de conservação 
de energia. Ela leva em consideração o comportamento 
corpuscular, em termos de massa (m) e o comportamento 
ondulatório, em termo da função de onda (ψ). 
Leva em consideração a energia cinética e a energia 
potencial do elétron: 
 EH ˆ
Significado Físico da Função de Onda 
ψ não tem significado físico 
 
ψ2 densidade de probabilidade de encontrar um 
elétron em função da posição x 
A seguir, mostraremos 
qualitativamente algumas 
previsões da Mecânica Quântica 
para alguns casos simples 
envolvendo partículas como o 
elétron. As mesmas idéias serão 
ampliadas para o átomo de 
hidrogênio. 
Ondas Estacionárias 
 Uma onda estacionária é aquela em que a crista, ou a 
posição de maior amplitude não se move. Da mesma forma, 
pontos em que a amplitude é nula, conhecidos como nós, 
não se movem. 
 
 Um exemplo de onde isso ocorre é numa corda de violão. 
A corda está presa nas extremidades e, ao ser tocada, vibra 
de acordo com um modo de vibração.Se não houvesse 
atrito com o ar, ela vibraria indefinidamente. Como há esse 
contato com o ar, ouvimos um som de freqüência igual à da 
vibração. 
 
Modos de Vibração numa Onda Unidimensional 
2

nL  para n = 1, 2, 3 …, 
2

L
2
2

L
2
3

L
2
4

L
primeiro harmônico 
segundo harmônico 
terceiro harmônico 
quarto harmônico 
Modos de Vibração numa Onda Unidimensional 
O comprimento de onda de uma onda estacionária 
numa corda depende do comprimento da corda e do 
número de ventres. A onda estacionária pode ter 
apenas alguns valores específicos de , que são 
dados por: 
 Vamos supor que um elétron esteja confinado em uma 
caixa. 
 
 De acordo com a mecânica clássica, o elétron poderia ter 
qualquer valor de energia (no caso, energia cinética). 
 
 Tratando o elétron como uma partícula-onda, veremos 
que surge um resultado bem diferente... 
Problema da Partícula na Caixa 
Por que estudar o problema do “elétron numa caixa”??? 
A caixa significa que o movimento do elétron está restrito a uma 
porção do espaço que chamamos de poço de potencial. No 
átomo de hidrogênio, o potencial que “restringe” o movimento do 
elétron e impede-o de escapar é o potencial coulombico. O 
problema do hidrogênio é bem mais complexo que o do elétron 
na caixa, mas os dois problemas têm algumas similaridades. 
0 
-∞ 
EPOT 
poço de potencial potencial de Coulomb 
Tratando o elétron como 
onda, temos o mesmo 
problema da corda de violão. 
Devido à impossibilidade da 
partícula estar fora do poço, 
afirmamos que a função de 
onda é nula no exterior. No 
interior do poço, formam-se 
ondas estacionárias. 
Elétron Confinado numa Caixa (Poço de Potencial) 
Elétron Confinado numa Caixa (Poço de Potencial) 
Elétron Confinado numa Caixa (Poço de Potencial) 
E = Enf -Eni = h 
 
Energia do fóton emitido por 
uma transição eletrônica: 
No confinamento unidimensional, a energia 
possível do estado estacionário depende do 
número quântico n: 
Elétron Confinado numa Caixa (Poço de Potencial) 
Problema unidimensional: onda numa corda 
 
 
Problema bidimensional: onda numa membrana 
(p. ex. na superfície de um tambor) 
 
 
Ver o link (modos de vibração de ondas bidimensionais): 
 
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Membrane-vs-String/Membrane-vs-String.html 
Elétron Numa Caixa Bidimensional 
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Membrane-vs-String/Membrane-vs-String.html
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Membrane-vs-String/Membrane-vs-String.html
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Membrane-vs-String/Membrane-vs-String.html
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Membrane-vs-String/Membrane-vs-String.html
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Membrane-vs-String/Membrane-vs-String.html
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Membrane-vs-String/Membrane-vs-String.html
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Membrane-vs-String/Membrane-vs-String.html
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Membrane-vs-String/Membrane-vs-String.html
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Membrane-vs-String/Membrane-vs-String.html
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Membrane-vs-String/Membrane-vs-String.html
http://www.chem.ufl.edu/~itl/4412_aa/partinbox.html 
Elétron Numa Caixa Bidimensional 
)(
8
22
2
2
, yxnn nn
mL
h
E
yx

E1,2 = E2,1 
Estados Degenerados 
Estados diferentes porém com a mesma energia. 
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Particle2D.svg
Exemplo: “Curral Quântico” 
http://www.almaden.ibm.com/almaden/media/mirage.html 
Exemplo: “Curral Quântico” 
Manipulação de átomos 
https://www.nist.gov/programs-projects/atom-manipulation-scanning-tunneling-microscope 
IBM escrito com 35 átomos de Xenônio (1989) 
https://www.nist.gov/programs-projects/atom-manipulation-scanning-tunneling-microscope
https://www.nist.gov/programs-projects/atom-manipulation-scanning-tunneling-microscope
https://www.nist.gov/programs-projects/atom-manipulation-scanning-tunneling-microscope
https://www.nist.gov/programs-projects/atom-manipulation-scanning-tunneling-microscope
https://www.nist.gov/programs-projects/atom-manipulation-scanning-tunneling-microscope
https://www.nist.gov/programs-projects/atom-manipulation-scanning-tunneling-microscope
https://www.nist.gov/programs-projects/atom-manipulation-scanning-tunneling-microscope
https://www.nist.gov/programs-projects/atom-manipulation-scanning-tunneling-microscope
https://www.nist.gov/programs-projects/atom-manipulation-scanning-tunneling-microscope
https://www.nist.gov/programs-projects/atom-manipulation-scanning-tunneling-microscope
https://www.nist.gov/programs-projects/atom-manipulation-scanning-tunneling-microscope
Elétron Numa Caixa Tridimensional 
No confinamento 3D, os estados estacionários dependem de 
3 números quânticos, (n
x
,n
y
,n
z
), um para cada direção. 
Vamos supor um 
sistema com um próton e 
um elétron. 
 
O próton cria uma 
armadilha para o elétron, 
mantendo-o confinado. 
 
Qualquer tipo de 
confinamento faz surgir 
estados estacionários. 
Átomo de Hidrogênio 
Densidade de probabilidade de se encontrar o elétron: 
 
Orbitais do Átomo de Hidrogênio 
O modelo da mecânica quântica 
não se refere a órbitas porque o 
movimento do elétron em um 
átomo não pode ser medido ou 
localizado com precisão 
(princípio da incerteza de 
Heisenberg). 
Órbita ou camada 
(modelo de Bohr) 
Orbital (modelo da mecânica 
quântica) = 
Orbitais Atômicos 
 Por se tratar de um problema em 3 
dimensões, teremos 3 números 
quânticos associados aos estados 
estacionários. 
 
 Os números quânticos do problema 
da partícula na caixa estavam 
associados às 3 direções cartesianas. 
O problema do hidrogênio possui uma 
simetria diferente (simetria esférica), e 
o tratamento matemático requer uma 
transformação de coordenadas 
cartesianas para coordenadas 
esféricas. Isso faz com que cada 
número quântico tenha um significado 
especial, como veremos a seguir. 
Átomo de Hidrogênio 
Coordenadas 
Esféricas Polares 
Orbitais s 
Orbitais p 
Orbitais d 
Orbitais f 
Números Quânticos 
 A solução da equação de Schrödinger para o átomo de 
hidrogênio mostra que cada orbital atômico é 
caracterizado por três números inteiros, chamados de 
números quânticos: 
 
• número quântico principal (n) 
• número quântico angular (l) 
• número quântico magnético (ml) 
 
 
 Sabendo os números quânticos associados a um 
orbital, é possível calcular propriedades como, por 
exemplo, a energia do elétron em um átomo. 
 Está relacionado à distância 
média entre o elétron e o 
núcleo, ou seja, ao “tamanho” 
do orbital. 
 
 Quanto maior for n, maior a 
distância média entre o 
elétron e o núcleo, portanto 
menor será a força que 
“prende” o elétron ao átomo. 
 
 Portanto, n indica o NÍVEL 
ELETRÔNICO. 
,...3,2,1n
Número Quântico Principal - n 
Número Quântico Principal e Níveis de Energia 
No caso do átomo de hidrogênio, n está diretamente 
relacionado aos níveis de energia do elétron: 
,...3,2,1
2
H  n
n
hcR
En
estados 
excitados 
estado 
fundamental 
ionização 
 Está relacionado ao formato do orbital. 
 
 l indica o SUBNÍVEL ELETRÔNICO. 
 
 O número de subníveis em cada nível é dado por: 
1,...,2,1,0  nl
Número Quântico Angular - l 
0 
1 
2 
3 
s 
p 
d 
f 
l 
nome do 
subnível 
 Está relacionado à orientação espacial do orbital dentro de 
um determinado subnível. 
 
 Os orbitais individuais que compõe um determinado 
subnível são dados por: 
llllml  ,...,2,1,
Número Quântico Magnético - m 
Exemplo: 
se l = 1 (subnível p), 
há 3 valores de m (+1,-1,0) e 
portanto 3 orbitais (px, py, pz). 
Números Quânticos 
níveis subníveis orbitais 
Estrutura Eletrônica do Átomo de Hidrogênio 
 Estado fundamental: n = 1 l = 0 ml = 0 
 Primeiro estado excitado: n = 2 l = 0 ml = 0ou 
 n = 2 l = 1 ml = 0, ±1 
 (todos com a mesma energia) 
 Ionização: H → H+ + e- 
+ energia 
+ energia 
+ energia 
+ energia 
Exercícios 
1) Quantos orbitais há no nível n = 2? 
 
2) Quantos orbitais há no nível n = 4? 
 
3) Um elétron num átomo de hidrogênio está num estado em 
que n = 4 e l = 2. Em qual tipo de orbital está o elétron? 
 
Lembrando que... 
1,...,2,1,0  nl
llllml  ,...,2,1,