AVA 2 Cálculo Integral II

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
 
 
 
 
 
 
 
NATÁLIA VICTOR DA CRUZ COUTINHO 
 
TURMA: EAD-IL10015-20213A 2021.3 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO – RJ 
2021 
NATÁLIA VICTOR DA CRUZ COUTINHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho, apresentado a Universidade Veiga de 
Almeida, como parte das exigências para a 
avaliação da disciplina de cálculo integral e 
diferencial II. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro, 18 de Agosto de 2021. 
 
 
 
 
1ª Questão 
Calcular a integral tripla: 
∭(y+x2)zdV∭(y+x2)zdV 
sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo 
1≤x≤2,0≤y≤1,−3≤z≤5.1≤x≤2,0≤y≤1,−3≤z≤5. 
 
ʃ² dx ʃ ¹ dy ʃ5 dz (y+x²) zdv v= a *b*c 
 1 0 -3 
 V= (5+(-3)) *1*1 
ʃ² dx ʃ ¹ dy ʃ5 (y+x²)zdz v= (5-3)*1 
 1 0 -3 v= 2 
 
ʃ² dx ʃ ¹ (y+x²) dy ʃ5 zdz 
 1 0 -3 
 
Z² ]5 5² - (-3)² = 25 – (9) = 8 
 
2 -3 = 2 2 2 2 
 
ʃ² dx ʃ ¹ (y+x²) * (8)dy 
ʃ² (8) * (y+x²) = 
 1 
 
 ʃ ² 8 y + 8x²= 
 1 
 
ʃ² 8x²dx ʃ ¹ 8y dy 
 1 0 
 
8y² ]¹ = 1² - (0)² = 1 
 2 0 2 2 2 
 
ʃ² 8x²dx 1 
 1 2 
 
8*(1) ʃ² x²dx = 8 = 4x³ ]² = 4 [ 2³ - 1³ ]= 
 2 1 2 3 1 3 3 
 
4[ 8 – 1 ] = 4[ 7 ] = 4 * 7 = 28 = 9,33 
 3 3 3 3 3 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão : 
Calcular a integral : 
(x²+y²)dV , 
em q u e T é a região de integração interior ao cilindro x²+y²= 1 e à esfera 
x²+y²+z²= 4 (fazer a transformação para o sistema de coordenadas que mais 
simplifica a resolução ). 
(x,y,z) (r,θ,z) dv= rdz d r dθ 
X²+y²+z² = 4 x= rcos θ 
Z² = 4-x2-y² y=rsen θ 
0< r < 1 r= x² +y² 
 0< z < - 2r 
 
X= rcos θ 
D v=rdz dr dθ 
 
 
 
ʃ¹ ʃ²¶ ʃ-2r * (rco sθ)² + (rsen θ)² * r dz dθ dr 
 0 0 0 
 
ʃ¹ ʃ²¶ ʃ-2r * r²co s²θ + r²se n ²θ * r dz dθ dr 
0 0 0 
 
ʃ¹ 2r³ dr ʃ²¶ 
cos² θ + sen ²θ dθ ʃ-2rdz 
 0 0 0 
 
 
ʃ-2rdz = [z]- 2r 
0 0 
 
[-2r -0] 
 
ʃ¹ 2r³ dr ʃ²¶ 
 
cos² θ + sen ²θ dθ [ -2r - 0] 
 0 0 
 
 
-2 ʃ¹ r 
4 dr ʃ²¶ 
cos² θ + sen ²θ dθ 
 0 0 
 
Co s ² θ= 1+cos2θ s en² θ = 1- cos2θ 
 2 2 
 
 
 ʃ²¶ 1+cos2θ + s en² θ= 1- cos2θ d θ 
0 2 2 
 
 
ʃ²¶ 1+1= 1 
0 2 2 
 
ʃ²¶ 1dθ ʃ²¶ cos2θ - cos2 θ dθ 
 0 0 2 2 
 
1+1= 1 ʃ²¶ dθ+1 ʃ²¶ cos(2θ) – cos(2θ) dθ 
2 2 0 0 
 
dθ+1 ]²¶ = 1(2¶) – 1(0) = 2¶ 
 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
 https://www.youtube.com/watch?v=qj_fqZ5ZIVM 
 https://unijorge.instructure.com/courses/20022/modules/items/269054