Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Cálculo Integral

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Pergunta 1 -- /1
O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a integração por substituições 
trigonométricas possui diversas aplicações no escopo do cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas substituições 
são as únicas saídas para resolver uma integral definida cujo valor numérico equivale, por exemplo, à área sob uma 
curva, a um volume de rotação ou translação, ao comprimento de um arco, etc.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a 
seguir:
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições trigonométricas em integrais, pois 
isolando y encontramos a raiz de a² – x².
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a substituição x = asen(w), 
devido ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w.
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição para integração em casos 
específicos, nos quais pode-se recorrer a certas substituições, baseando-se nas identidades trigonométricas, para 
chegar a expressões integráveis.
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições trigonométricas, nem sempre é 
preciso retornar à variável x original.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
II e III.
I e III.
Resposta corretaI, II e III.
I, II e IV.
Pergunta 2 -- /1
As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados matematicamente, 
de forma que o conhecimento da regra de integração de funções racionais por frações parciais é essencial para o bom 
aproveitamento dos conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de funções racionais por frações 
parciais, é correto afirmar que:
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o método das frações parciais ou fazer 
alguma outra substituição para sua resolução.
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II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, as quais 
são mais fáceis de se integrar.
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como uma soma de frações parciais 
desde que o grau de Q seja menor que o grau de P.
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2).
Está correto apenas o que se afirma em:
I e III.
II e IV.
II e III.
III e IV.
Resposta corretaI, II e IV.
Pergunta 3 -- /1
A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral pauta-se na identificação dos 
integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos por um 
método ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, frações parciais, 
integrais por partes e afins.
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a seguir:
I. integral fraction numerator x minus 1 over denominator x squared minus x squared minus 2 x end fraction d x pode 
ser resolvida pelo método de frações parciais.
II. integral left parenthesis x squared plus 2 right parenthesis to the power of 32 space 2 x space d x pode ser 
resolvida pelo método de substituição u du.
III. 
integral fraction numerator cos open parentheses x close parentheses over denominator s e n open parentheses x 
close parentheses end fraction d x
é solúvel pelo método das substituições trigonométricas.
IV. integral fraction numerator square root of 4 minus x squared end root over denominator x squared end fraction d x
 pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta corretaI, II e IV.
III e IV.
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II e IV.
I, II e III.
II, III e IV.
Pergunta 4 -- /1
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas que se tem uma 
mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de funções.
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser definidas em termos de 
subtrações ou soma de outras integrais.
II. ( ) A fórmula 
V space equals space integral subscript a superscript b straight pi left square bracket straight f left parenthesis 
straight x right parenthesis right square bracket squared dx
 representa o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação em x.
III. ( ) 
L space equals space integral subscript a superscript b square root of 1 plus left parenthesis f apostrophe left 
parenthesis x right parenthesis right parenthesis squared end root d x
 representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma função.
IV. ( ) 
V space equals space integral subscript a superscript b straight pi left square bracket straight f left parenthesis 
straight x right parenthesis right square bracket squared dx
pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação y.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, F, F
V, V, F, V.
Resposta corretaV, V, V, F.
V, F, V, V.
F, F, V, F.
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Pergunta 5 -- /1
O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental importância no que diz respeito à 
integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método 
consiste em reescrever a função como a soma de frações cujos denominadores são fatores do denominador original e, 
apenas após isso, realizar a integração de fato.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por frações parciais, analise as 
asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser calculada pelo método da integração de 
frações parciais.
Porque:
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas divisões polinomiais, obtendo 
f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), para então integrar utilizando a regra da integral da soma de vários 
termos.
Agora, assinale a alternativa correta:
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Resposta corretaAs asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
As asserções I e II são proposições falsas.
Pergunta 6 Crédito total dado -- /1
As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma integral indefinida, onde muitas vezes 
não há um passo direto para encontrarmos a primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa forma, dependendo do 
arranjo algébrico dos termos de f(x), decidimos por diferentes técnicas de integração, como o método da substituição, o 
da integração por partes, o das frações parciais, e etc.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida pelo método de integração por 
partes e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da integração por partes, por se tratar do 
produto de duas funções.
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II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
integral f left parenthesis x right parenthesis space g space apostrophe left parenthesisx space right parenthesis d x 
space equals space f left parenthesis x right parenthesis space g space left parenthesis x right parenthesis space minus 
integral g left parenthesis x right parenthesis space f apostrophe left parenthesis x right parenthesis d x plus C
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C.
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente igual a 6,28.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, V, F, F.
F, F, V, F.
V, F, F, V.
F, V, F, V.
Resposta corretaF, V, V, V.
Pergunta 7 -- /1
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas assumidas como 
verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais 
como teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas funções é 
relevante para a integração por partes porque:
deve-se derivar as funções antes de integrá-las
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral por partes.
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
Resposta correta
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do método 
de integração por partes.
ambas são axiomas da matemática.
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Pergunta 8 -- /1
O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e complexos métodos. Busca-se, 
com ele, a realização de uma substituição a partir de funções trigonométricas específicas para a eliminação de uma 
estrutura determinada do integrando.
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando.
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis.
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse método.
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, V, V, F.
Resposta corretaV, V, F, V.
V, F, F, F.
V, V, F, F.
F, F, V, V.
Pergunta 9 -- /1
As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos de 
funções. Para o cálculo de áreas entre curvas, especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e subtrações 
para a determinação de uma área de interesse.
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola:
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por meio de integrais e do entendimento 
acerca de funções quadráticas e lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para 
a(s) falsa(s).
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo, (base*altura)/2, que resultaria 
em 3/2.
1.png
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II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2.
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as seguintes integrais: 
integral subscript 1 superscript 2 x squared plus 1 space d x space minus space integral subscript 1 superscript 2 2 
space d x
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma integral.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
F, V, F, F.
V, F, V, F.
F, F, V, V.
Resposta corretaF, V, V, F.
V, F, F, V.
Pergunta 10 -- /1
Para a resolução de integrais, deve-se saber identificar qual método utilizar pela forma de seus integrandos, ou seja, 
pela forma das funções que estão dentro das integrais. Certos tipos de métodos só são aplicáveis a integrandos 
específicos, como é o caso do método de integração por substituições trigonométricas.
De acordo com seus conhecimentos sobre o método de integração por substituições trigonométricas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) square root of a squared minus x squared end root é um integrando que pode ser resolvido por substituição 
trigonométrica.
II. ( ) square root of a squared plus x squared end root é um integrando que pode ser resolvido por substituição 
trigonométrica.
III. ( ) square root of x squared minus a squared end root é um integrando que pode ser resolvido por substituição 
trigonométrica.
IV. ( ) square root of x cubed minus a squared end root é um integrando que pode ser resolvido por substituição 
trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
F, F, V, F.
V, F, F, V.
V, V, F, F.
Resposta corretaV, V, V, F.
F, V, F, V.