Eq da onda

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Universidade Federal da Paráıba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Graduação em Matemática
A equação da onda
Aline de Araújo Maia
João Pessoa – PB
Novembro de 2017
http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?metodo=apresentar&id=K4453503D3
Universidade Federal da Paráıba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Graduação em Matemática
A equação da onda
por
Aline de Araújo Maia
sob a orientação do
Prof. Dr. Fágner Dias Araruna
João Pessoa – PB
Novembro de 2017
M217e Maia, Aline de Araújo.
 A equação da onda / Aline de Araújo Maia. - João
 Pessoa, 2017.
 74 f. : il.
 Orientação: Araruna, Fágner Dias.
 Monografia (Graduação) - UFPB/CCEN.
 1. Séries de Fourier. 2. Equação da onda. 3. Corda
 vibrante. I. Araruna, Fágner Dias. II. Título.
UFPB/BC
Catalogação na publicação
Seção de Catalogação e Classificação
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Dedico este trabalho a minha famı́lia, em especial aos meus
pais Ana Maria (in memoriam) e Manoel Alves, que sem-
pre acreditaram em mim e fizeram o posśıvel pela minha
educação.
“Porque Dele e por Ele, e para Ele, são todas
as coisas; glória, pois, a Ele eternamente.
Amém.”
Romanos 11:36
v
Agradecimentos
A Deus, pois Nele vivemos, nos movemos e existimos, Ele é a fonte de todo o
conhecimento e ajuda aqueles que o buscam.
Aos meus pais, Ana Maria (in memoriam) e Manoel Alves, por estarem incondi-
cionalmente ao meu lado, me criando no caminho da retidão e sempre influenciando
meu interesse pelo conhecimento. Aos meus avós, Maria da Glória, Isaac Araújo (in
memoriam), Eunice Maia (in memoriam) e Antônio Amaro (in memoriam), por ofe-
recerem um ambiente de amor e atenção especialmente na minha infância. Aos meus
tios, em especial minhas tias Zenaide Maria e Joanita Maria, que cuidaram de mim
após o falecimento da minha mãe.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Fágner Dias Araruna, por toda a contribuição
e aux́ılio para o meu desenvolvimento não só acadêmico, mas também enquanto ser
humano. Aos professores membros da banca examinadora, Prof. Dr. Damião Júnio
Gonçalves Araújo e Prof. Dr. Uberlandio Batista Severo, por aceitarem o convite de
participarem deste momento importante.
Aos meus colegas do laboratório Milênio, a destacar, Thiago Luiz, Raoni, Mariana,
Cássio, Angélica, Raiza, José Ribeiro, Esaú, Julian, Douglas, Marcelo, José Carlos,
Richardson, Moisés, Josenildo, Suelena, Victor, Leon e Wendel, pelos momentos de
estudo e brincadeiras compartilhados. A Liana Coliselli e Karoline Medeiros, minhas
amigas e conselheiras.
A todos os colegas da Cru Campus, na pessoa de Shirley Mesquita, pela comunhão
no campus e fora dele, e pela vivência cristã neste local. Seguramente posso chamá-los
de irmãos.
A todos das igrejas Batista em Ferreiros e Luterana, que me auxiliaram com orações
e apoio espiritual.
Resumo
Neste trabalho, focamos o nosso estudo na equação da onda. Apresentamos inicial-
mente conceitos básicos referentes a Equações Diferenciais Parciais (EDPs) e a Teoria
das séries de Fourier. Em seguida, lidamos com a dedução f́ısica e resolução desta
equação. Discutimos diversos problemas de valores iniciais e de fronteira, tais como:
o da corda com extremidades fixas, da corda dedilhada, da corda infinita e da corda
semi-infinita. Além disso, nos dois últimos, encontramos a solução de D’Alembert. Na
abordagem desses problemas, tivemos a oportunidade de tratar não só de conceitos
matemáticos mas também de f́ısicos relacionados a este tema.
Palavras-chave: Séries de Fourier, Corda vibrante, Equação da onda.
Abstract
In this work, we focus our study in wave equations. We present incially basic
concepts of Partial Di↵erentials Equations (PDEs) and Theory of Fourier series. In the
following, we deal with the physic dedution and also the resolution of this equation. We
treat several problems of inicial value and boundary conditions such as: the problem of
the string with fixed extremeties, the figering string, the infinity string and semi-infinity
string. Additionally, in the last two ones, we have found a solution of D’Alembert type.
In the approach of this problems, we had the opportunity of treating not just with
mathematical concepts but also with physical related topics to this theme.
Keywords: Fourier Series, Vibrating String, Wave Equation.
Sumário
Introdução 1
1 Preliminares 3
1.1 Sobre equações diferenciais parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Condições de fronteira e iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Convergência da série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Equação da onda 13
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Nota histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Dedução f́ısica da equação da corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Exemplos da equação da onda e diferentes condições iniciais e de fronteira 19
2.5 Resolução da equação da onda por séries de Fourier . . . . . . . . . . . 21
2.6 Energia da corda vibrante e unicidade de solução . . . . . . . . . . . . 30
2.6.1 Interpretação f́ısica das fórmulas da energia cinética (2.33) e po-
tencial (2.34) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Harmônicos, frequência e amplitude de uma onda estacionária . . . . . 36
2.7.1 Partes de uma onda estacionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.2 A energia do n-ésimo harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8 A corda dedilhada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9 Vibrações forçadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.10 A corda infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.10.1 Solução generalizada da equação da onda . . . . . . . . . . . . . 45
2.10.2 Fórmula de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.10.3 Inferências a respeito da fórmula de D’Alembert . . . . . . . . . 48
2.10.4 Corda infinita dedilhada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.10.5 A integral da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.10.6 Unicidade de solução estrita do problema de Cauchy . . . . . . 57
ix
2.10.7 Continuidade da solução do problema de Cauchy com os dados
iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.10.8 O problema de Cauchy não-homogêneo . . . . . . . . . . . . . . 58
2.11 A corda semi-infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.11.1 Comentários a respeito de (2.73) . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Referências Bibliográficas 63
x
Notações
A seguir, listamos algumas notações utilizadas neste trabalho.
• @f
@x
ou f
x
denotam que a função f foi derivada com relação a variável x;
• K, c, c
1
, c
2
, . . . denotam constantes positivas, possivelmente deferentes;
• Ck(⌦) denota o conjunto das funções de classe Ck definitas em um subconjunto
⌦ 2 Rn;
• R denota o conjunto R = {(x, t) 2 R2; 0 < x < L; t > 0} ;
• R̄ denota o fecho do conjunto R .
xi
Introdução
A teoria das Equações Diferenciais Parciais (EDPs) é um campo de estudo da
matemática amplamente explorado por outras áreas da ciência, tendo suas origens no
cálculo diferencial e integral com motivação em problemas oriundos da f́ısica, biologia,
ciências econômicas, entre outras.
Nos últimos três séculos, esta teoria tem conquistado espaço significativo tanto
na matemática pura, sendo considerada parte vital da análise, quanto na matemática
aplicada, onde tem se mostrado uma importante ferramenta.
Tais equações são utilizadas para modelar fenômenos que dependam da posição, do
tempo ou outrasvariáveis. Muitas leis da natureza encontram nas EDPs uma liguagem
objetiva para sua expressão, como por exemplo, problemas de eletrodinâmica, difusão
do calor e propagação de ondas. Entre estes, está o famoso problema de vibrações de
cordas elásticas, que se reduz na obtenção de uma solução para uma equação diferencial
parcial, conhecida como a equação da onda unidimensional.
Neste trabalho, estudaremos a equação da onda unidimensional de forma detalhada,
desde a sua dedução f́ısica até problemas de valores iniciais e de fronteira ligados à
mesma, utilizando como principal referência o livro [2].
É interessante frisar que o problema tratado neste trabalho tem grande contribuição
histórica para a matemática, pois foi um dos debates cient́ıficos mais importantes do
século XVIII. Diversos matemáticos famosos como D’Alembert, Daniel Bernoulli, Euler
e Lagrange se debruçaram para resolvê-lo. Foram obtidas soluções de diversas formas,
que geraram discussões a respeito de assuntos importantes como o conceito de função.
Muitos destes debates perduraram até o ińıcio do século XIX, trazendo grandiosas
contribuições para a matemática da época e embasando teorias futuras.
Este trabalho está dividido em dois caṕıtulos. No Caṕıtulo 1 começaremos com
conceitos básicos e, em seguida, de maneira sucinta, mencionaremos alguns resultados
pertencentes à teoria de séries de Fourier.
Iniciaremos o Caṕıtulo 2, o principal deste texto, com uma breve introdução à
ondas e, em seguida, apresentaremos uma nota histórica referente ao problema da corda
vibrante. Em seguida, faremos a dedução f́ısica da equação da onda unidimensional,
1
usando como ferramenta o prinćıpio fundamental da dinâmica.
Considerando o problema da corda vibrante, também mostraremos a resolução da
equação utilzando o método de Fourier. Na sequência, apresentaremos um teorema que
valida a solução encontrada. Abordaremos também diferentes problemas de valores
iniciais e de fronteira, dentre eles a corda com extremidades fixas, a corda dedilhada, a
corda infinita ou problema de Cauchy- de onde obteremos a fórmula de D’Alembert-e,
finalmente a corda semi-infinita. Dentre tais problemas de valores iniciais e de fronteira,
também poderemos analisar a energia da corda vibrante, harmônicos, frequência e
amplitude de uma onda estacionária, que são temas de cunho mais f́ısico.
2
Caṕıtulo 1
Preliminares
Neste caṕıtulo destacaremos informações importantes para a compreensão de afir-
mações e teoremas usados nesta monografia. Essencialmente, partiremos da explanação
acerca do conceito de equações diferenciais parciais e das condições iniciais e de fron-
teira; posteriormente falaremos da teoria de séries de Fourier, sobre a definição e
também sobre sua covergência pontual e uniforme. Tal teoria é impresćındivel à ob-
tenção de uma solução para a equação que é tema deste trabalho, a equação da onda.
1.1 Sobre equações diferenciais parciais
Uma Equação Diferencial Parcial (EDP) é uma equação envolvendo duas ou mais
variáveis independentes x, y, w, ...; e derivadas parciais de uma função (variável depen-
dente) u = (x, y, w, ...). De maneira mais precisa, uma EDP em n-variáveis indepen-
dentes x
1
, ..., x
n
é uma equação da forma
F
✓
x
1
, ..., x
n
,
@u
@x
1
, ...,
@u
@x
n
,
@2u
@x
1
@x
n
, ...,
@ku
@xk
n
◆
= 0, (1.1)
onde x = (x
1
, ..., x
n
) 2 ⌦, ⌦ é um subconjunto aberto do Rn, F é uma função dada e
u = u(x) é a função que queremos determinar.
A ordem de uma EDP é dada pela derivada parcial de maior ordem.
Uma EDP é dita linear se é de primeiro grau em u e em todas as derivadas parciais
que ocorrem na equação; caso contrário, diremos que é não linear.
A forma mais geral de uma EDP linear de primeira ordem é
nX
i,j=1
a
ij
(x)
@u
@x
j
+ b(x)u+ c(x) = 0. (1.2)
3
1. Preliminares
Para equações de segunda ordem a forma mais geral é dada por
nX
i,j=1
a
ij
(x)
@2u
@x
i
@x
j
+
nX
j=1
b
j
(x)
@u
@x
j
+ c(x)u+ d(x) = 0. (1.3)
Dizemos que uma EDP linear é homogênea se o termo que não contém a variável
dependente u é identicamente nulo.
As condições que iremos tratar são válidas para equações diferenciais parciais linea-
res de qualquer ordem, contudo iremos exemplificar com uma EDP de segunda ordem.
Podemos reescrever (1.3) da seguinte forma:
Lu = f. (1.4)
onde f(x) = �d(x) e (Lu)(x) =
P
n
i,j=1
a
ij
(x) @
2
u
@xi@xj
+
P
n
j=1
b
j
(x) @u
@xj
+ c(x)u.
Em (1.4), L é chamado de operador diferencial que é a função definida por
L : C2(⌦) ! C(⌦)
u 7! Lu,
O resultado a seguir é conhecido como prinćıpio da superposição.
Teorema 1.1. Seja L um operador linear diferencial parcial de ordem k cujos coefi-
cientes estão definidos em um aberto ⌦ ⇢ Rn. Suponha que {u
n
}
n2N é um conjunto
de funções de classe Ck em ⌦ satisfazendo a EDP linear homogênea Lu = 0 e que
{↵
n
}
n2N é uma sequência de escalares tal que a série
1X
n=1
↵
n
u
n
é convergente e k vezes diferenciável termo a termo em ⌦. Então u satisfaz Lu = 0.
A prova deste resultado encontra-se em [4, p. 10].
1.1.1 Condições de fronteira e iniciais
Quando impomos condições sobre o valor da solução e das suas derivadas no bordo
da região ⌦ ⇢ Rn, onde a solução está definida, tais valores são chamados de condições
de fronteira, dáı temos um problema de valores de fronteira.
Quanto às condições iniciais, como temos mais de uma variável dependente em
EDP, por exemplo, x e t, é comum fixarmos uma das variáveis (t = 0) e assim termos
o valor da solução e de suas derivadas parciais em relação à variável fixa como função
4
1. Preliminares
das outras variáveis, por exemplo, u(x, 0) = f(x) e u
t
(x, 0) = g(x), onde f e g são
funções dadas.
Problemas envolvendo condições de fronteira e condições iniciais serão chamados de
problemas de valores iniciais e de fronteira, que abreviaremos com a sigla PV IF .
1.2 Séries de Fourier
Nesta seção discorreremos a respeito da teoria de séries de Fourier, sob quais
hipóteses uma função pode ser representada por uma série de Fourier, e também acerca
da obtenção dos coeficientes de Fourier para esta, quando ela existir. Por fim, tratare-
mos de teoremas que expliquem a convergência pontual e uniforme desta série.
É importante ressaltar que os resultados aqui expressos serão apresentados de ma-
neira sucinta, algumas demonstrações serão omitidas. Também é importante salientar
que esta teoria serve como base para as conclusões obtidas no caṕıtulo principal mo-
nografia, o caṕıtulo 2.
Para iniciarmos a apresentação da teoria das séries de Fourier, vejamos as a de-
finições a seguir.
Definição 1.1. Uma função f : R ! R é dita periódica de peŕıodo T se f(x+T ) = f(x)
para todo x.
Definição 1.2. Seja f : R ! R uma função periódica de peŕıodo 2L, integrável e
absolutamente integrável no intervalo [�L,L], isto é,
R
L
�L |f(x)|dx < 1. Os números
dados por
a
n
=
1
L
Z
L
�L
f(x) cos
⇣n⇡x
L
⌘
dx, n � 0,
b
n
=
1
L
Z
L
�L
f(x)sen
⇣n⇡x
L
⌘
dx, n � 1,
(1.5)
são chamados de coeficientes de Fourier da função f .
Definição 1.3. Dada uma função f : R ! R periódica de peŕıodo 2L, integrável e
absolutamente integrável no intervalo [�L,L], podemos calcular seus coeficientes de
Fourier pelas expressões em (1.5). E, desta forma, podemos escrever
f(x) ⇠ 1
2
a
0
+
1X
n=1
⇣
a
n
cos
⇣n⇡x
L
⌘
+ b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘⌘
. (1.6)
Isto significa que a expressão do lado direito é a série de Fourier de f .
O sinal ⇠ em (1.6) significa que nem sempre ocorre a igualdade, podendo ocorrer
aproximações, e algo mais sério pode acontecer, que é o caso da série de Fourier divergir.
5
1. Preliminares
Por isso, mais adiante, veremos condições suficientes para que a função f seja igual a
sua sériede Fourier.
Definição 1.4. Uma função f : R ! R será seccionalmente cont́ınua se tiver apenas
um número finito de descontinuidades (todas de primeira espécie) em qualquer intervalo
limitado. Em outras palavras, dados a < b, existem a  a
1
< a
2
< ... < a
n
 b, tais
que f é cont́ınua em cada intervalo aberto (a
j
, a
j+1
), j = 1, ..., n � 1, e existem os
limites
f(a
j
+ 0) = lim
x!a+j
f(x) e f(a
j
� 0) = lim
x!a�j
f(x).
Definição 1.5. Uma função f : R ! R será seccionalmente diferenciável se for secci-
onalmente cont́ınua e se a função derivada f 0 for também seccionalmente cont́ınua.
Teorema 1.2. Teorema de Fourier Seja f : R ! R uma função seccionalmente
diferenciável e de peŕıodo 2L. Então a série de Fourier da função f , dada em (1.6),
converge, em cada ponto x para 1
2
[f(x+ 0) + f(x� 0)].
Estimativas dos coeficientes de Fourier
Primeiramente, suponhamos que f seja uma função periódica de peŕıodo 2L, in-
tegrável e absolutamente integrável, dáı utilizando a equação (1.5), e que as funções
seno e cosseno são limitadas por um. Obtemos as seguintes estimativas para os cofici-
entes a
n
e b
n
|a
n
| =
����
1
L
Z
L
�L
f(x) cos
⇣n⇡x
L
⌘
dx
���� 
1
L
Z
L
�L
|f(x)|dx,
|b
n
| =
����
1
L
Z
L
�L
f(x)sen
⇣n⇡x
L
⌘
dx
���� 
1
L
Z
L
�L
|f(x)|dx.
(1.7)
Agora, usando a hipótese de f e |f | serem funções integráveis, podemos concluir a
existência de uma constante M , tal que
|a
n
|  M e |b
n
|  M, 8 n.
Suponhamos agora que f seja periódica de peŕıodo 2L e também que seja derivável,
e tal derivada f 0 seja integrável e absolutamente integrável. Então, integrando por
partes as expressões em (1.5)e tomando valores absolutos obtemos
|a
n
|  1
n⇡
Z
L
�L
|f 0(x)|dx
|b
n
|  1
n⇡
Z
L
�L
|f 0(x)|dx.
(1.8)
6
1. Preliminares
Dáı, usando a hipótese que f é cont́ınua e f 0 tem derivada integrável e absolutamente
integrável, temos a implicação de que existe uma constante M , tal que
|a
n
|  M
n
e |b
n
|  M
n
, 8 n = 1, 2, ... (1.9)
Finalmente, suponhamos que f seja periódica de peŕıodo 2L, com primeira deri-
vada cont́ınua, e a segunda derivada integrável e absolutamente integrável. Com estas
hipóteses, podemos melhorar as estimativas em (1.9). Para isto, realizamos mais uma
integração por partes nas expressões em (1.7) e obtemos
|a
n
|  L
n2⇡2
Z
L
�L
|f 00(x)|dx,
|b
n
|  L
n2⇡2
Z
L
�L
|f 00(x)|dx.
Portanto, através das nossas últimas hipóteses podemos concluir que
|a
n
|  M
n2
e |b
n
|  M
n2
, 8 n = 1, 2, ... (1.10)
1.2.1 Convergência da série de Fourier
Classes das funções consideradas
Como vimos anteriormente, para definirmos coeficientes de Fourier e, consequente-
mente, a série de Fourier de uma função f , foi necessário admitir algumas hipóteses
sobre esta função, tais como periodicidade (f é de peŕıodo 2L), integrabilidade e in-
tegrabilidade absoluta no intervalo [�L,L], onde a integral que estamos lidando é a
integral de Riemann. Veremos agora resultados a respeito da convergência desta série.
Definição 1.6. Uma função f será chamada L 1 se, e somente se, f e |f | forem
integráveis.
Convergência pontual da série de Fourier
Neste ponto daremos condições suficientes sobre a função f de modo a grantir sua
convergência num ponto fixado x para o valor f(x) ou em geral para 1
2
[f(x+0)+f(x�
0)]. Nosso objetivo é mostrar estimativas para
e
n
(x) = s
n
(x)� f(x+ 0) + f(x� 0)
2
,
7
1. Preliminares
onde
s
n
(x) =
1
2
a
0
+
nX
k=1
h
a
k
cos
⇣n⇡x
L
⌘
+ b
k
sen
⇣n⇡x
L
⌘i
.
Inicialmente iremos escrever a soma parcial s
n
(x) de modo mais conveniente com o obje-
tivo de majorar e
n
(x). Para que isto ocorra iremos usar as expressões dos coeficientes de
Fourier em (1.5) e a identidade trigonométrica cos(a�b) = cos(a) cos(b)+sen(a)sen(b),
para assim obter
s
n
(x) =
Z
L
�L
1
L
"
1
2
+
nX
k=1
cos
✓
k⇡(x� y)
L
◆
f(y)dy
#
. (1.11)
Antes de prosseguirmos, atentemos para a seguinte definição:
Definição 1.7. O núcleo de Dirichlet é a expressão
D
n
(x) =
1
L
 
1
2
+
nX
k=1
cos
✓
k⇡x
L
◆!
. (1.12)
Propriedades do Núcleo de Dirichlet
i) D
n
(x) é uma função cont́ınua;
ii) Usando relações de ortogonalidade, temos
Z
L
�L
D
n
(x)dx = 1;
iii) D
n
(x) é uma função periódica de peŕıodo 2L;
iv) D
n
(0) =
(n+
1
2 )
L
;
v) Vale a seguinte expressão para D
n
(x), com x 6= 0,±2,±4, ...
D
n
(x) =
1
2L
sen
⇣
(n+
1
2 )⇡x
L
⌘
sen
�
⇡x
2L
� .
Voltando para a expressão (1.11), usando (1.12) e fazendo a mudança de variável
y = x� t, obtemos
s
n
(x) =
Z
L
�L
D
n
(x� y)f(y)dy =
Z
L+x
�L+x
D
n
(t)f(x� t)dt.
Dispondo que D
n
e f são periódicas de peŕıodo 2L e que D
n
é par, podemos escrever
s
n
(x) =
Z
L
0
D
n
(t)[f(x+ t) + f(x� t)]dt. (1.13)
8
1. Preliminares
De (1.13) temos que a expressão e
n
, para a qual queremos estimativas, ganha a forma
e
n
(x) =
Z
L
0
D
n
(t)g(x)dt, (1.14)
com g(x) = [f(x+ t)� f(x+ 0)] + [f(x� t)� f(x� 0)].
O lema a seguir é um importante resultado que é usado na demonstração do Teste
de Dini, teorema que fala da convergência pontual da série de Fourier.
Lema 1.3. (Lema de Riemann-Lebesgue) Seja f : [a, b] ! R uma função L 1([a, b]).
Então
lim
t!1
Z
b
a
f(x)sen(tx)dx = 0,
lim
t!1
Z
b
a
f(x) cos(tx)dx = 0.
(1.15)
A prova deste lema encontra-se em [2, p. 56].
De posse deste lema, enunciemos um resultado referente à convergência da série de
Fourier no ponto x.
Teorema 1.4. (Teste de Dini) Seja f : R ! R uma função periódica de peŕıodo 2L
e L 1([�L,L]). Fixado x em [�L,L], suponha que f(x + 0) e f(x � 0) existam e que
exista ⌘ > 0 tal que Z
⌘
0
����
g(x, t)
t
���� dt < 1. (1.16)
Então e
n
(x) ! 0, ou seja, s
n
(x) ! [f(x+0)+f(x�0)]
2
, quando n ! 1.
Demonstração. Para fazermos esta demonstração, iremos decompor a função e
n
(x) em
duas partes
e
n
(x) =
Z
�
0
tD
n
(t)
g(x, t)
t
dt+
Z
L
�
sen
✓
n+
1
2
◆
⇡t
L
�
g(x, t)
2Lsen
�
⇡t
2L
�dt.
A primeira integral ficará pequena desde que se tome � convenientemente pequeno e
usando a hipótese em (1.16). Já no caso da segunda integral, usaremos o lema 1.4.
Como
|tD
n
(t)|  t
2Lsen
�
⇡t
2L
� , (1.17)
e como a função do lado direito de (1.17) é crescente e cont́ınua no intervalo [0, L],
conseguimos a seguinte estimativa:
|tD
n
(t)|  1
2
para t 2 [0, L].
9
1. Preliminares
Portanto, dado " > 0, tomamos � < min(L, ⌘), tal que
����
Z
�
0
tD
n
(t)
g(x, t)
t
dt
���� 
1
2
Z
�
0
����
g(x, t)
t
���� dt <
"
2
.
Tal desigualdade é posśıvel por causa da hipótese (1.16). Com esse � fixado, olhemos
para a segunda integral a fim de aplicar o Lema 1.4. Para isto, basta verificar que a
função
h(t) =
g(x, t)
2Lsen
�
⇡t
L
� , t 2 [�, L],
é integrável, o que é decorrente do fato do denominador nunca se anular em [�, L] e g
ser integrável. Dáı, para n suficientemente grande
�����
Z
L
�
sen
✓
n+
1
2
◆
⇡t
L
�
g(x, t)
2Lsen
�
⇡t
2L
�dt
����� <
"
2
,
assim concluindo a demonstração.
Desigualdades
A desigualdade de Bessel é dada por
a2
0
2
+
1X
k=1
(a2
k
+ b2
k
)  1
L
Z
L
�L
|f(x)|2dx. (1.18)
Sejam a = (a
1
, ..., a
n
) e b = (b
1
, ..., b
n
) dois vetores do Rn. A desigualdade de
Cauchy-Schwarz para vetores do Rn tem a seguinte forma:
�����
nX
j=1
a
j
b
j
����� 
 
nX
j=1
a2
j
! 1
2
 
nX
j=1
b2
j
! 1
2
. (1.19)
Uma outra desigualdade importante é a seguinte:
"
nX
j=1
(a
j
+ b
j
)2
# 1
2

 
nX
j=1
a2
j
! 1
2
+
 
nX
j=1
b2
j
! 1
2
, (1.20)
conhecida como a desigualdade triangular ou desigualdade de Minkowski.
10
1. Preliminares
Convergência uniforme da série de Fourier
Neste tópico apresentaremos condições suficientes sobre a função f periódica de
péŕıodo 2L, de modo que estas garantam a convergência uniforme de sua série de
Fourier. Vejamos os resultados aseguir.
Teorema 1.5. (Primeiro teorema da convergência uniforme da série de Fou-
rier) Seja f uma função periódica de peŕıodo 2L, cont́ınua e com derivada primeira
de quadrado integrável. Então, a série de Fourier de f converge uniformemente para
f .
Demonstração. Vejamos, em primeiro lugar, que
���a
n
cos
⇣n⇡x
L
⌘���  |a
n
| e
���b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘���  |b
n
|,
e consideremos a série numérica
1X
n=1
(|a
n
|+ |b
n
|). (1.21)
Usando a estimativa feita sobre os coeficientes de Fourier em (1.10), que diz que caso
a função f tenha derivada primeira continua e derivada segunda uma função L 1,
então a série numérica em (1.21) é majorada pela série M
P1
n=1
1
n
2 , a qual é uma série
convergente. Entretanto, podemos demonstrar a convergência de (1.21) sem impor
tantas restrições sobre a função f . Suponhamos que f seja uma função cont́ınua e que
a sua derivada primeira seja uma função L 2. Usando as relações em (1.8), conclúımos
a
n
=
�L
n⇡
b0
n
, b
n
=
L
n⇡
a0
n
;
onde a0
n
e b0
n
designam os coeficientes de Fourier de f 0. Dáı a reduzida de ordem n da
série (1.21) pode ser escrita
nX
j=1
(|a
j
|+ |b
j
|) = L
⇡
nX
j=1
1
j
(|a0
j
|+ |b0
j
|), (1.22)
que é majorada por
L
⇡
 
nX
j=1
1
j2
! 1
2
"
nX
j=1
(|a0
j
|+ |b0
j
|)2
# 1
2
, (1.23)
onde utilizamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz no Rn. Em seguida, iremos usar a
desigualdade (|a|+ |b|)2  2(a2 + b2), que é a desigualdade de Cauchy-Schwarz no R2,
11
1. Preliminares
no segundo somatório em (1.23). Dáı obtemos a seguinte majoração para (1.22)
p
2L
⇡
 
nX
j=1
1
j2
! 1
2
"
nX
j=1
(|a0
j
|2 + |b0
j
|2)
# 1
2
.
Finalmente, a série em (1.21) é majorada por
p
2L
⇡
 1X
n=1
1
n2
! 1
2
" 1X
j=1
(|a0
j
|2 + |b0
j
|2)
# 1
2
,
onde ambas as séries convergem, a segunda devido a desigualdade de Bessel.
Teorema 1.6. (Segundo teorema sobre convergência uniforme da série de
Fourier) Seja f periódica de peŕıodo 2L, seccionalmente cont́ınua e tal que sua de-
rivada primeira seja de quadrado integrável. Então, a série de Fourier de f converge
uniformemenre para f em todo intervalo fechado que não contenha pontos de descon-
tinuidade de f .
A prova deste teorema encontra-se em [2, p. 70].
12
Caṕıtulo 2
Equação da onda
Nossos objetivos neste caṕıtulo são deduzir e estudar a equação da onda através da
aplicação de conceitos f́ısicos, abordar métodos de resolução desta equação utilizando a
teoria de séries de Fourier, verificar a existência e a unicidade das soluções encontradas,
e também a resolver alguns problemas de valor incial para equação da onda, dentre
eles o problema de Cauchy.
2.1 Introdução
No campo da f́ısica clássica, ondas e part́ıculas são dois grandes conceitos, ambos
concentrando quase todos os ramos desta ciência. Embora sejam iguais em importância,
as definições de onda e part́ıcula que apresentam diferem entre si.
Quando nos referimos à palavra part́ıcula, esta tem o significado de uma dimi-
nuta quantidade de matéria capaz de transmitir energia; quando falamos de ondas, tal
conceito se refere a uma distribuição ampla de energia que vai preenchendo o espaço
por onde passa. Neste trabalho, destinaremos nossa atenção às ondas, para, assim,
trabalharmos com a equação que as descreve.
Existem três tipos principais de ondas, a saber, ondas mecânicas, eletromagnéticas
e materiais.
As ondas mecânicas são as que se propagam exclusivamente em meios materiais e
são governadas pelas leis de Newton; são bastante comuns e encontradas facilmente no
cotidiano, como, por exemplo, ondas do mar, ondas śısmicas e ondas sonoras.
As ondas eletromagnéticas são as que resultam da combinação de campos elétricos
e magnéticos. Tais ondas não exigem um meio material para se propagarem, isto é,
podem se propagar no vácuo; no dia a dia, as ondas eletromagnéticas estão presentes
nos raio X, microondas, raios ultravioletas etc.
As ondas materiais são associadas com elétrons, prótons e outras part́ıculas funda-
13
2. Equação da onda
mentais, e até mesmo átomos e moléculas. Estas são as menos comuns, e são, em sua
maioria, encontradas em tecnologias modernas e no campo quântico.
O que discutiremos neste caṕıtulo se refere as ondas mecânicas. Utilizaremos aqui a
segunda lei de Newton para deduzirmos a equação diferencial parcial que as representa.
2.2 Nota histórica
Os matemáticos do século XVIII se debruçaram sobre problemas dif́ıceis ligados ao
campo da f́ısica, dentre os quais um dos mais famosos é o problema da corda vibrante.
Estes estudiosos tiveram que desenvolver intensamente o instrumental matemático já
existente para que tal pudesse ser utilizado na resolução deste problema.
Como veremos neste caṕıtulo, o problema de vibração de cordas se reduz a encontrar
uma solução para a equação
u
tt
= c2u
xx
,
conhecida como equação da onda. A equação foi estudada e derivada pela primeira
vez por D’Lambert em 1746. Tal problema também atraiu a atenção de diversos
matemáticos, como Euler (1748), Daniel Bernoulli (1755) e Lagrange (1759). Os dois
primeiros chegaram à conclusão de que a solução deveria ser da forma
u(x, t) = F (x+ ct) +G(x� ct),
onde F e G são funções reais.
Já Bernoulli chegou à expressão
u(x, t) =
1X
n=1
a
n
sen(nx)cos(nct),
quando a corda de comprimento ⇡ vibra por uma pertubação da sua posição de repouso.
Os méritos entre essas soluções foram dicutidos de forma acalorada numa série de
debates que perduraram por mais de vinte e cinco anos. Entre os pontos principais
destas discussões estava o que diz respeito à natureza de uma função, já que o conceito
de função como entendemos hoje não estava formulado de maneira concreta naquela
época. Também entre as discussões estavam os tipos de funções que poderiam ser
representadas por séries trigonométricas. Tais questões não foram resolvidas até o
século XIX.
Na época de Euler havia duas classes de funções, a saber, as cont́ınuas, que eram
as que podiam ser expressas por uma equação entre x e y, e as geométricas, que eram
todas aquelas que podiam ser traçadas a mão livre. Admitia-se também que a classe
14
2. Equação da onda
de funções cont́ınuas era menor que a classe de funções geométricas, porque uma linha
partida não era considerada uma função cont́ınua no sentido da época, e sim várias
funções.
Essencialmente as soluções propostas por D’Lambert e Euler eram as mesmas, mas
a diferença estava no significado de função em cada caso. No caso de Euler admitia-se
quaisquer funções geométricas para os dados iniciais; D’Lambert, por sua vez, tomava
apenas funções cont́ınuas para esta posição.
Bernoulli dizia que a sua solução era absolutamente geral e que continha as dadas
por D’Lambert e Euler, porém, Euler contestava que isto era imposśıvel, pois se a
função fosse escrita como uma série de senos, isso implicaria que ela era periódica
e ı́mpar, e a ideia de que uma expressão anaĺıtica representasse uma função em um
intervalo não era aceita na época.
Em 1759, Lagrange mostrou que a solução da equação da onda para uma corda de
comprimento 1, quando a posição inicial é dada por f(x) e a velocidade inicial por g(x)
é da seguinte forma:
u(x, t) = 2
Z
1
0
1X
n=1
senn⇡y cosn⇡ctf(y)dy + 2
Z
1
0
1
n
senn⇡y senn⇡x senn⇡ctdy,
e dessa forma ele conseguiu representar a expressão na forma prevista por Euler.
Foi tarefa de Fourier (1811) explicitar os coeficientes e escrever a série de senos e
cossenos de várias funções. Ele afirmou que qualquer função poderia ser representada
pela série que recebeu o seu nome e, apesar disso não ser verdade, recebeu as glórias
de ter apresentado a forma da série que deveria representar a função.
Todas estas contribuições levaram à consolidação damoderna teoria das séries de
Fourier, e dessa forma a matemática pode ser desenvolvida para que, assim, o problema
de pequenas vibrações de uma corda pudesse ser finalmente solucionado.
2.3 Dedução f́ısica da equação da corda vibrante
Por corda entenderemos um fio fino perfeitamente flex́ıvel, isto é, que não apresente
resistência ao ser dobrado. Iremos estudar o problema de pequenas vibrações trans-
versais de uma corda, e tal fenômeno será localizado num plano (x, u). Iremos, ainda,
supor que a corda vibre em torno da sua posição de repouso ao longo do eixo x. Por
transversal, entenderemos a oscilação que se realiza em um plano que contém o eixo
dos x e em que cada part́ıcula que compõe a corda se desloca perpendicularmente a
esse eixo.
15
2. Equação da onda
Figura 2.1: Vibrações transversais
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Ondas_transversais
Representaremos por u(x, t) o deslocamento de cada ponto x da corda no instante
t, partindo da posição de equiĺıbrio. Para deduzirmos a equação diferencial parcial a
qual a função u(x, t) deve satisfazer, utilizaremos a segunda lei de Newton, também
conhecida como o prinćıpio fundamental da dinâmica, que nos diz:
“A derivada com relação ao tempo da quantidade de movimento é igual a soma das
forças aplicadas”.
É necessário perceber que as grandezas f́ısicas envolvidas nessa lei são vetoriais, isto
é, dependem da direção e do sentido dos vetores, de modo que, ao apicá-la, estaremos
atentos a este fato.
No modelo com qual trabalharemos, consideraremos o sistema mecânico constitúıdo
por um trecho arbitrário da corda entre dois pontos x = a e x = b. Chamaremos de
⇢(x, t) a densidade linear da corda, que é dada pela massa dividida pelo comprimento.
Como estamos supondo que as part́ıculas que constituem a corda se deslocam trans-
versalmente através de pequenas vibrações, vemos que a massa não se altera ao longo
do tempo, concluindo assim que a densidade linear não dependerá de t. Devido a isto,
denotaremos a densidade linear da corda por ⇢(x).
Portanto, a quantidade de movimento da corda entre os pontos x = a e x = b é
dada por
M(t) =
Z
b
a
⇢(x)u
t
(x, t)dx, (2.1)
onde u
t
(x, t) designa a velocidade do ponto x da corda no instante t. A integral na
expressão (2.1) é devido a velocidade não ser necessariamente constante em todos os
pontos da corda, logo, a quantidade de movimento deve ser a soma infinitesimal da
densidade vezes a velocidade do trecho que estamos trabalhando.
A hipótese da vibração transversal também nos leva a concluir que não há compo-
nente de velocidade no eixo x, pois, como dito, as part́ıculas constituintes da corda se
movem no sentido normal a x, logo, existe componente de velocidade apenas no eixo
u.
16
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ondas_transversais
2. Equação da onda
Existem dois tipos de força a serem considerados. O primeiro tipo se refere à ação do
resto da corda sobre o trecho entre a e b, a que chamamos de forças de tensão na direção
das retas tangentes ao ponto a e b, são F
a
e F
b
respectivamente. E representaremos por
f(a, t) e f(b, t), respectivamente, as intensidades destas forças. Na ilustração abaixo,
podemos observar graficamente a representação destas forças
Figura 2.2: Forças de tensão
Fonte: [2, p. 131]
onde ✓
a
e ✓
b
correspondem aos ângulos das retas tangentes à corda com eixos x = a e
x = b, respectivamente.
Usando a segunda lei de Newton, que foi enunciada anteriormente, e lembrando
que não existe quantidade de movimento na direção do eixo x, devido a ausência da
componente de velocidade neste eixo, temos:
X
i
~F
i
=
@ ~M
@t
(2.2)
Como foi dito, nesta lei estamos lidando com grandezas vetoriais, logo, existem duas
componentes posśıveis, a saber, a no sentido u e a no sentido x, as quais são represen-
tadas da seguinte forma:
X
i
~f
ix
=
@ ~M
x
@t
X
i
~f
iu
=
@ ~M
u
@t
(2.3)
Olhando para a componente x, e lembrando que não há quantidade de movimento
nesta direção, conclúımos que X
i
~f
ix
= 0. (2.4)
Além disso, veja na Figura 2.2 que F
a
e F
b
estão na mesma direção, que é a do eixo
x, porém em sentidos opostos. Dáı, como em (2.4) o somatório destas componente é
17
2. Equação da onda
zero, conclúımos que estas forças possuem componentes iguais, logo
f(b, t)cos(✓
b
) = f(a, t)cos(✓
a
), (2.5)
de onde comprovamos que a componente horizontal da tensão é independente do ponto
x e é função apenas do tempo t. Por este motivo, para representá-la, usaremos a
notação ⌧(t).
Podemos, então, ver que a resultante vertical das forças de tensão que atuam sobre
o trecho da corda entre os pontos x = a e x = b, é
⌧(t)tg(✓
b
)� ⌧(t)tg(✓
a
). (2.6)
Enxergando a derivada com relação a x como a inclinação da reta tangente, temos que
a expressão (2.6) se torna
⌧(t)u
x
(x, t)/x=b
x=a
. (2.7)
E supondo que a função u(x, t) possui segunda derivada integrável, temos, pelo teorema
fundamental do cálculo, que Z
b
a
⌧(t)u
xx
(x, t)dx. (2.8)
Em segundo lugar, além das forças de tensão, nosso sistema pode estar sujeito à ação
de forças externas, dentre elas a gravidade, a resistência ao movimento, e forças que
tendem a retornar a corda para o seu estado de equiĺıbrio. Chamaremos de h
1
(x, t) a
densidade linear destas forças ao longo da corda, e utilizaremos novamente a segunda
lei de Newton, como também as expressões (2.1) e (2.8) para obter
d
dt
✓Z
b
a
⇢(x)u
t
(x, t)dx
◆
=
Z
b
a
⌧(t)u
xx
(x, t)dx+
Z
b
a
h
1
(x, t)dx. (2.9)
Supondo que u
tt
(x, t) seja uma função cont́ınua, podemos reescrever (2.9) da seguinte
forma: Z
b
a
⇢(x)u
tt
(x, t)dx =
Z
b
a
⌧(t)u
xx
(x, t)dx+
Z
b
a
h
1
(x, t)dx,
que podemos reescrever como
Z
b
a
⇢(x)u
tt
(x, t)� ⇢(x)u
xx
(x, t)� h
1
(x, t)dx = 0.
Finalmente, como a e b foram escolhidos arbitrariamente, podemos concluir
⇢(x)u
tt
(x, t)� ⌧(x)u
xx
(x, t)� h
1
(x, t) = 0
18
2. Equação da onda
) ⇢(x)u
tt
(x, t) = ⌧(t)u
xx
(x, t) + h
1
(x, t).
Para melhorarmos a notação, escreveremos
u
tt
= c2u
xx
+ h(x, t), (2.10)
donde c(x, t)2 = ⌧(t)
⇢(x)
e h(x, t) = h1(x,t)
⇢(x)
. A equação em (2.10) é a equação da onda.
2.4 Exemplos da equação da onda e diferentes condições
iniciais e de fronteira
Nesta seção, mostraremos diferentes tipos de equação da onda, onde estas diferem de
acordo com o tipo de forças externas atuando sobre a corda. Além disso, aboradaremos
diferentes condições iniciais e de fronteira que irão depender da natureza da corda e do
modo como se iniciou o processo vibratório.
1. Vibrações livres
Suponhamos que as únicas forças atuantes sobre a corda sejam as de tensão, F
a
e F
b
. Assim, a equação (2.10) torna-se
u
tt
= c2u
xx
,
onde podemos introduzir a hipótese de c ser constante caso a corda seja ho-
mogênea, isto é, possua densidade linear ⇢(x) constante, e caso as vibrações
tenham amplitudes muito pequenas, ou seja, ⌧(t) constante.
2. Vibrações forçadas
Neste caso, iremos considerar a corda à mercê de uma força externa, de modo
que esta varie com x e t. Então a (2.10) é escrita como
u
tt
= c2u
xx
+ h(x, t).
3. Vibrações amortecidas
Aqui, iremos ter a hipótese de que a corda esteja imersa em um meio flúıdo, na
água, no ar etc, e em tal meio ela encontre resistência a seu movimento. Deste
modo, há uma força externa que depende da velocidade, e tal força suporemos
ser da forma h(x, t) = �bu
t
(x, t) com b > 0, sendo o sinal negativo porque a
força é de resistência ao movimento vibratório. Com essas suposições, a equação
19
2. Equação da onda
(2.10) torna-se
u
tt
= c2u
xx
� bu
t
.
4. Vibrações sob a ação de uma força restauradora
Suponhamos agora que exista uma força que possa trazer a corda de volta para
a posição u ⌘ 0, posição de repouso. A esta chamaremos força restauradora, queserá dada por h(x, t) = �au(x, t) com a > 0. Como no caso 3 o sinal negativo
é devido a força ser contrária ao movimento vibratório. Então a equação (2.10)
torna-se
u
tt
= c2u
xx
� au.
Na seção 2.3, deduzimos a EDP que representa o problema de pequenas vibrações
transversais de uma corda em torno da sua posição de repouso, mas, para completarmos
a descrição deste fenômeno f́ısico, iremos comentar sobre algumas outras informações,
como o comprimento da corda, o tipo de articulação das extremidades da mesma e
também sobre o que provocou o ı́nicio das vibrações. Para atendermos essa demanda,
vamos considerar os casos a seguir.
Corda finita com extremidades fixas
Suponhamos que a corda com a qual estamos trabalhando tenha comprimento L, e
que em sua posição de equiĺıbrio coincida com o eixo x no plano (x, u), onde 0  x  L.
Assim, a hipótese das extremidades fixas implica que
u(0, t) = u(L, t) = 0, para t � 0, (2.11)
onde as expressões em (2.11) são chamadas de condições de fronteira.
Do ponto de vista matemático, não estaremos interessados no que provocou o ı́nicio
das vibrações. Nossa atenção será voltada ao deslocamento inicial da corda, o qual
iremos denotar por u(x, 0). O deslocamento inicial diz respeito à posição da corda
no tempo zero e ao modo como a corda é abandonada nesta posição. Esta última
informação é dada pela velocidade inicial u
t
(x, 0). Assim devemos ter o seguinte:
u(x, 0) = f(x), para 0  x  L
u
t
(x, 0) = g(x), para 0  x  L
. (2.12)
As condições em (2.12) são chamadas de condições iniciais.
Portanto, o problema da corda vibrante finita com extremidades fixas consiste em
20
2. Equação da onda
determinar uma função u(x, t) com, 0  x  L e t � 0, que satisfaça à equação da
onda (2.10), às condições de fronteira em (2.11) e às condições iniciais em (2.12). Um
problema deste tipo é conhecido como problema de valor inicial e de fronteira, que
denotaremos abreviadamente por PV IF .
O PV IF tratado neste item inclui casos como as vibrações das cordas de uma
harpa, pois ao tocar este instrumento o harpista desloca a corda e depois a abandona,
para assim começarem as vibrações, neste caso, f(x) 6= 0 e g(x) = 0.
Corda finita com extremidades livres
Suponhamos, agora, uma corda de comprimento L, esta com as suas extremidades
postas em trilhos colocados perpendicularmente à corda no plano (x, u). Isso implica
u
x
(0, t) = u
x
(L, t) = 0. (2.13)
E suponhamos as condições iniciais iguais às do caso anterior. Desta forma, o PV IF
em questão é determinar uma função u(x, t) que satisfaça a equação (2.10), as condições
de fronteira em (2.13) e as condições iniciais em (2.12).
2.5 Resolução da equação da onda por séries de
Fourier
Nesta seção, iremos utilizar o método de Fourier para encontrar uma solução para
a equação da onda através de um PV IF . A nossa procedência inicial se dará de
maneira informal, isto é, não colocaremos hipóteses sobre as funções dos dados iniciais
f e g. Desta forma obteremos uma expressão candidata à solução do PV IF que será
apresentado. Posteriormente, olhando para expressão obtida, vamos colocar algumas
hipóteses necessárias sobre as funções f e g, para que assim tenhamos o resultado
formal para este problema.
Utilizaremos o método de separação de variáveis e também a teoria de séries de
Fourier, apresentada no caṕıtulo 1, para resolver o problema da corda vibrante com
extremindades fixas, apresentado na seção anterior e descrito abaixo
8
>>><
>>>:
u
tt
= c2u
xx
, em R
u(0, t) = u(L, t) = 0, para t � 0
u(x, 0) = f(x) e u
t
(x, 0) = g(x), para 0  x  L
(2.14)
21
2. Equação da onda
com c = constante e R = {(x, t) 2 R2/0 < x < L; t > 0}.
O método de Fourier consiste em usar a separação de variáveis para determinar
funções u(x, t) = F (x)G(t) que satisfaçam a equação da onda e as condições de fron-
teira. Com isso, usamos estas funções para assim compor outra função que também
satisfaça as condições iniciais.
Com o método em mente, vamos utilizá-lo para resolver o PV IF (2.14). Em
primeiro lugar, vamos substituir a função u(x, t) = F (x)G(t) na equação da onda, dáı
temos o seguinte:
F (x)G00(t) = c2F 00(x)G(t),
donde, supondo, F (x) 6= 0 e G(t) 6= 0, podemos escrever
F 00(x)
F (x)
=
G00(t)
c2G(t)
. (2.15)
Do lado esquerdo da equação (2.15) temos uma expressão que depende apenas de
x, e do lado direito, temos uma expressão que depende apenas de t; isto implica que
ambos os tados de (2.15) independem de x e de t, logo, são iguais a um parâmetro que
denotaremos por �. Este parâmetro será determinado de forma que as condições de
fronteira em (2.14) sejam satisfeitas pela função u(x, t). Potanto, na equação (2.15),
temos
F 00
F
=
G00
c2G
= �,
donde obtemos
F 00 � �F = 0
G00 � �c2G = 0.
(2.16)
As condições de fronteira do problema (2.14) nos dizem que 0 = u(0, t) = F (0)G(t)
e 0 = u(L, t) = F (L)G(t); isto implica que F (0) = F (L) = 0, pois caso não fosse assim
teŕıamos G(t) = 0 para todo t, e por consequência u(x, t) = 0 para todo x e t, o que só
satisfaria as condições iniciais em (2.14) se f(x) = 0 e g(x) = 0, e assim restringiŕıamos
muito nosso campo de estudo. Logo, consideraremos F (0) = F (L) = 0, e deste modo
chegaremos ao seguinte problema de autovalores
8
<
:
F 00 � �F = 0
F (0) = F (L) = 0.
(2.17)
A resolução de (2.17) consiste em determinar os valores � (que são chamados au-
tovalores) de forma que suas soluções, chamadas de autofunções, sejam não nulas.
Há três possibilidades para �, conforme segue.
22
2. Equação da onda
• � > 0
Se isto ocorre, temos um problema de valor inicial constitúıdo por uma EDO de
segunda ordem. Dáı sua solução geral é da forma
F (x) = c
1
e
p
�x � c
2
e�
p
�x.
Além disso, F deve satisfazer as condições de fronteira. Logo, obtemos o sistema
(
F (0) = c
1
+ c
2
= 0 (I)
F (L) = c
1
e
p
�L + c
2
e�
p
�L = 0 (II)
De (I), temos que c
2
= �c
1
; substituindo em (II), obtemos
c
1
e
p
�L � c
1
e�
p
�L = 0
) c
1
(e
p
�L � e�
p
�L) = 0,
donde conclúımos que c
1
= 0, pois e
p
�L 6= e�
p
�L ) e
p
�L � e�
p
�L 6= 0.
Ou seja, c
1
= c
2
= 0. Assim, temos F ⌘ 0, o que por sua vez nos leva a obter
u ⌘ 0, que, como foi dito anteriormente, não é insteressante para o nosso estudo.
• � = 0
Se isto ocorre, temos que a equação em (2.17) torna-se F 00(x) = 0, uma EDO que
tem como solução geral
F (x) = c
1
x+ c
2
,
e para satisfazer as condições de fronteira obtemos o sistema
(
F (0) = c
2
= 0 (III)
F (L) = c
1
L+ c
2
= 0 (IV )
que, quando resolvemos, encontramos a solução c
1
= c
2
= 0 e desta forma temos F ⌘ 0,
e nos deparamos com a mesma conclusão do caso anterior.
• � < 0
Se isto ocorre, podemos reescrever � = ��2, e a solução geral da equação em (2.17)
será
F (x) = c
1
cos(�x) + c
2
sen(�x).
E para F satisfazer as condições de fronteira, temos
F (0) = c
1
= 0
F (L) = c
1
cos(�L) + c
2
sen(�L) = 0
,
23
2. Equação da onda
de onde temos c
1
= 0 e c
2
sen(�L) = 0. Como não queremos c
2
= 0, pois assim F ⌘ 0
e concluiŕıamos o mesmo dos casos anteriores, devemos ter
sen(�L) = 0 ) �L = n⇡; onde n é um inteiro não nulo.
Assim,
�
n
= �n
2⇡2
L2
(com n = 1, 2, 3, ...), são os autovalores, substituindo � em (2.17) temos
F 00 +
n2⇡2
L2
F = 0.
Dáı obtemos as autofunções
F
n
(x) = sen
⇣n⇡x
L
⌘
,
que satisfazem a expressão acima. Analogamente, em
G00 = �c2G,
fazemos os casos de � > 0 e � = 0 e obtemos u ⌘ 0, que não interessa, no caso � < 0
fazemos �
n
= ��2c2, e vemos que para cada �
n
a solução geral da EDO acima é
G
n
(t) = a
n
cos
✓
n⇡ct
L
◆
+ b
n
sen
✓
n⇡ct
L
◆
,
onde a
n
e b
n
são constantes arbitrárias.
Logo, substituindo as soluções F
n
(x) e G
n
(t)na equação u
n
(x, t) = F
n
(x)G
n
(t),
temos
u
n
(x) = a
nsen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
+ b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆
, (2.18)
com n = 1, 2, ..., tais u
n
são soluções da equação da onda e satisfazem as condições
de fronteira em (2.14). Como a soma de soluções é uma solução, o próximo passo é
determinar as constantes a
n
e b
n
de forma que a solução do PV IF (2.14) seja dada
por
u(x, t) =
1X
n=1

a
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
+ b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆�
. (2.19)
• Determinação dos a
n
24
2. Equação da onda
Da primeira condição inicial em (2.14) conseguimos encontrar o valor de a
n
, pois
u(x, 0) = f(x) )
1X
n=1
h
a
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos (0) + b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen (0)
i
= f(x).
Como sen(0) = 0, temos que b
n
sen
�
n⇡x
L
�
sen (0) = 0, e como cos(0) = 1, podemos
escrever
1X
n=1
a
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
= f(x). (2.20)
Assim como f está representada por uma série de senos, os seus coeficientes de Fourier
devem ser da forma
a
n
=
2
L
Z
L
0
f(x) sen
⇣n⇡x
L
⌘
dx. (2.21)
• Determinação dos b
n
Derivando a série em (2.19) termo a termo com relação a t, obtemos
u
t
(x, t) =
@
@t
 1X
n=1

a
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
+ b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆�!
=
1X
n=1
@
@t
✓
a
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
+ b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆�◆
=
1X
n=1

@
@t
✓
a
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆�◆
+
@
@t
✓
b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆�◆�
=
1X
n=1

�a
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆
n⇡c
L
+ b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
n⇡c
L
�
Da segunda condição inicial em (2.14), conseguimos encontrar o valor de b
n
, pois
1X
n=1
u
t
(x, 0) = g(x) )
1X
n=1
h
�a
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen (0)
n⇡c
L
+ b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos (0)
n⇡c
L
i
= g(x).
Como sen(0) = 0, temos que �a
n
sen
�
n⇡x
L
�
sen (0) n⇡c
L
= 0, e como cos(0) = 1, podemos
escrever,
1X
n=1
b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘ n⇡c
L
= g(x). (2.22)
Assim como f está representada por uma série de senos os seus coeficientes de Fourier
devem ser da forma
n⇡c
L
b
n
=
2
L
Z
L
0
g(x) sen
⇣n⇡x
L
⌘
dx. (2.23)
Aqui terminamos a resolução utilizando o método de Fourier, com ele obtemos a
25
2. Equação da onda
solução informal do PV IF (2.14), dada em (2.19), além dos coeficientes a
n
e b
n
dados
em (2.21) e (2.23).
Como foi dito no ińıcio desta seção, nosso procedimento foi bastante informal. As-
sim, olhando para a expressão (2.19) como candidata à solução de (2.14), colocaremos
as seguintes questões:
• A série em (2.19) é convergente?
• Define ela uma função cont́ınua em R?
• Define uma função de classe C2 em R que seja solução do PV IF (2.14)?
• Que condições devemos impor sobre f para que (2.21) ocorra?
• Que condições devemos impor sobre g para que (2.23) ocorra?
Para respondermos as perguntas feitas acima, consideraremos o teorema a seguir.
Teorema 2.1. Suponha que f e g sejam funções dadas em [0, L] tais que f, f 0, f 00, g, g0
sejam cont́ınuas e f 000 e g00 sejam seccionalmente cont́ınuas. Além disso, suponha que
f(0) = f(L) = f 00(0) = f 00(L) = g(0) = g(L) = 0. Então:
i) a
n
e b
n
são bem definidas por (2.21) e (2.23), respectivamente;
ii) as igualdades em (2.20) e (2.22) ocorrem;
iii) a expressão em (2.19) define uma função cont́ınua em R, de classe C2 em R, que
satisfaz a equação da onda em R.
Prova: A parte i) é consequência da hipótese de f , g e sen serem cont́ınuas em [0, L].
Como toda função cont́ınua é integrável, isto implica que as integrais em (2.21) e (2.23)
convergem, logo, estão bem definidas.
Agora, como f(0) = f(L) = g(0) = g(L) = 0, podemos estender as funções f e
g continuamente em toda a reta, de modo a serem ı́mpares e periódicas de peŕıodo
2L. Desta forma, usando as hipóteses de que f e g são de classe C1, pelo Teorema de
Fourier que foi citado no caṕıtuo 1, podemos afirmar
1X
n=1
a
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
= f(x).
1X
n=1
b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘ n⇡c
L
= g(x).
Mostrando assim, a parte ii).
26
2. Equação da onda
Para mostrar iii), basta provar a convergência da série
P1
n=1
[|a
n
|+ |b
n
|]. Pois
u
n
(x, t)  |u
n
(x, t)|
=
����an sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
+ b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆����

����an sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆����+
����bn sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆����
= |a
n
|
����sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆����+ |bn|
����sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆����
 |a
n
|+ |b
n
|.
Tomando somatórios,
NX
n=1
u
n
(x, t) 
NX
n=1
|u
n
(x, t)| 
NX
n=1
[|a
n
|+ |b
n
|] 
1X
n=1
[|a
n
|+ |b
n
|] .
Como estamos somando para qualquer N , temos
1X
n=1
u
n
(x, t) 
1X
n=1
[|a
n
|+ |b
n
|] .
Logo, se mostrarmos a convergência de
P1
n=1
[|a
n
|+ |b
n
|], temos, pelo teste da com-
paração, que
P1
n=1
u
n
(x, t) converge.
Por outro lado, fazendo integração por partes três vezes na expressão 2.21 temos
a
n
= � 2L
2
n3⇡3
Z
L
0
f 000(x) cos
⇣n⇡x
L
⌘
dx. (2.24)
Analogamente, fazendo a integração por partes três vezes em (2.23), temos
n⇡c
L
b
n
= � 2L
n2⇡2
Z
L
0
g00(x) sen
⇣n⇡x
L
⌘
dx. (2.25)
De (2.24) e (2.25) seguem
|a
n
| =
�����
2L
n3⇡3
Z
L
0
f 000(x) cos
⇣n⇡x
L
⌘
dx
����
 2L
n3⇡3
Z
L
0
���f 000(x) cos
⇣n⇡x
L
⌘��� dx
27
2. Equação da onda
e
|b
n
| =
�����
2L2
n3⇡3c
Z
L
0
g00(x) sen
⇣n⇡x
L
⌘
dx
����
 2L
2
n3⇡3c
Z
L
0
���g00(x) sen
⇣n⇡x
L
⌘��� dx
,
que podemos escrever
|a
n
|  K
n3
e |b
n
|  K
0
n3
,
onde K = 2L
2
⇡
3 k1 e K 0 =
2L
2
c⇡
3 k2, de modo que tenhamos k1 � cn e k2 � dn, onde cn e dn
são os coeficientes de Fourier de f 000 e g00, respectivamente. Podemos falar na existência
de tais coeficientes por conta da hipótese de f 000 e g00 serem funções seccionalmente
cont́ınuas. Logo, temos a seguinte estimativa:
|a
n
|+ |b
n
|  K
n3
+
K 0
n3
.
Tomando somatórios
NX
n=1
[|a
n
|+ |b
n
|] 
NX
n=1

K
n3
+
K 0
n3
�

1X
n=1

K
n3
+
K 0
n3
�
.
Como estamos somando para qualquer N , temos
1X
n=1
[|a
n
|+ |b
n
|] 
1X
n=1

K
n3
+
K 0
n3
�
,
onde a série majorante na expressão acima é convergente, pois é uma p-série, dáı, pelo
teste da comparação, temos a convergência de
P1
n=1
[|a
n
| + |b
n
|] e finalmente conse-
guimos a convergência de
P1
n=1
u
n
(x, t), que é uma convergência uniforme pois não
depende de x e t, e como é uma série de funções cont́ınuas, convergirá para uma função
cont́ınua donde, deste último fato e de (2.19), conclúımos que u é cont́ınua.
Vejamos agora se u é C1. Para isto, vamos obter as derivadas primeiras de u,
derivando
P1
n=1
u
n
(x, t) termo a termo,
@u
@x
=
1X
n=1

a
n
n⇡
L
cos
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
+ b
n
n⇡
L
cos
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆�
@u
@t
=
1X
n=1

�a
n
n⇡c
L
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆
+ b
n
n⇡c
L
cos
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆�
.
(2.26)
28
2. Equação da onda
A partir dáı, fazendo o módulo das expressões em (2.26), podemos majorará-las por
1X
n=1
[n|a
n
|+ n|b
n
|].
E vemos que esta última série é convergente, pois
n|a
n
|  K
n2
e n|b
n
|  K
0
n2
,
dáı
1X
n=1
[n|a
n
|+ n|b
n
|] 
1X
n=1

K
n2
+
K 0
n2
�
,
onde a expressão da direita é uma série numérica convergente; com isto temos as
igualdades em (2.26), ou seja, u é de classe C1 em R.
Vejamos agora se u é C2. Para isto, vamos derivar uma vez termo a termo as
expressões em (2.26), donde encontramos
@2u
@x2
=
1X
n=1

�a
n
n2⇡2
L2
sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
� b
n
n2⇡2
L
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆�
@2u
@t2
=
1X
n=1

�a
n
n2⇡2c2
L2
sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
� b
n
n2⇡2c2
L2
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆�
.
(2.27)
Vamos majorar estas expressões, aplicando módulo nos termos dos somatórios em
(2.27). Temos: ����
@2u
@x2
����  |an|
n2⇡2
L2
+ |b
n
|n
2⇡2
L2
e ����
@2u
@t2
����  |an|
n2⇡2c2
L2
+ |b
n
|n
2⇡2c2
L2
.
Assim, podemos majorar as séries em (2.27) pelaseguinte expressão:
⇡2c2
1X
n=1
[n2|a
n
|+ n2|b
n
|]. (2.28)
Para afirmarmos algo sobre a série em (2.28), vamos observar os cálculos seguintes. De
(2.24) e (2.25), temos
|a
n
|  K
00
n3
|c
n
| e |b
n
|  K
000
n3
|d
n
|,
onde K 00 = 2L
2
⇡
3 e K 000 =
2L
2
c⇡
3 .
29
2. Equação da onda
Logo, usando a desigualde ab  1
2
(a2 + b2) temos
n2|a
n
|  K
00
L
✓
1
n2
+ |c
n
|2
◆
e n2|b
n
|  K
000
2
✓
1
n2
+ |d
n
|2
◆
,
o que nos dá
1X
n=1
⇥
n2|a
n
|+ n2|b
n
|
⇤

1X
n=1

K 00
2
✓
1
n2
+ |c
n
|2
◆
+
K 000
2
✓
1
n2
+ |d
n
|2
◆�
<
1X
n=1

K 00
2
✓
1
n2
+ |c
n
|2 + |d
n
|2
◆
+
K 000
2
✓
1
n2
+ |c
n
|2 + |d
n
|2
◆�
=
1X
n=1

K 00 +K 000
2
✓
1
n2
+ |c
n
|2 + |d
n
|2
◆�
=
K 00 +K 000
2
 1X
n=1
1
n2
+
1X
n=1
|c
n
|2 +
1X
n=1
|d
n
|2
!
.
Donde a convergência destas últimas séries é devido à desigualdade de Bessel.
Finalmente, a série obtida ao derivar u duas vezes com relação a x ou a t é majorada
por uma série convergente em (2.28), logo, u é de classe C2 em R.
Além disto, comparando as duas séries de (2.27), vemos que
u
tt
= c2u
xx
, em R,
ou seja, u satisfaz a equação da onda.
Podemos retirar conclusões importante a respeito da natureza de uma solução do
PV IF (2.14). Vemos que uma função u(x, t) será solução do PV IF em questão se
• for cont́ınua em R e de classe C2 em R, com u
t
(x, t) cont́ınua em R;
• satisfizer as condições iniciais e de fronteira;
• satisfizer a equação da onda.
2.6 Energia da corda vibrante e unicidade de solução
Suponhamos que u(x, t) seja uma solução da equação da onda expressa da forma
⇢(x)u
tt
= ⌧u
xx
+ h
1
(x, t); (2.29)
vimos a equação da onda apresentada desta forma na seção 2.1. Também iremos adotar
a hipótese de que ⌧(t) = ⌧ , isto é, que as componentes horizontais das forças de tensão
não dependam do tempo. Mais especificamente, suporemos que a solução u seja uma
30
2. Equação da onda
função de classe C1 em R̄ de classe C2 em R e que satisfaça a equação da onda em R.
Multiplicando a equação (2.29) por u
t
, obtemos
⇢u
tt
u
t
= ⌧u
xx
u
t
+ h
1
(x, t)u
t
.
Integrando tal resultado com relação a x no intervalo [0, L], temos
Z
L
0
⇢u
tt
u
t
dx =
Z
L
0
⌧u
xx
u
t
dx+
Z
L
0
h
1
(x, t)u
t
dx. (2.30)
Usando a regra da cadeia, conseguimos a identidade u
t
u
tt
= 1
2
(u2
t
)
t
, dáı substituindo
esta identidade em (2.30), temos
1
2
Z
L
0
⇢(u2
t
)
t
dx =
Z
L
0
⌧u
xx
u
t
dx+
Z
L
0
h
1
(x, t)u
t
dx,
que devido a continuidade do integrando, utilizando o teorema de Leibniz [6, Teorema
3 p. 66], podemos escrever como
1
2
d
dt
✓Z
L
0
⇢(x)u2
t
dx
◆
=
Z
L
0
⌧u
xx
u
t
dx+
Z
L
0
h
1
(x, t)u
t
dx. (2.31)
Usando integral por partes com relação a x na segunda integral da equação acima, de
modo que u = u
t
e dv = ⌧u
xx
, conseguimos o seguinte:
⌧u
t
u
x
���
L
0
�
Z
L
0
⌧u
x
u
tx
dx.
Substituindo em (2.31)
d
dt
✓
1
2
Z
L
0
⇢(u2
t
)
t
dx
◆
+
Z
L
0
⌧u
x
u
tx
dx = ⌧u
t
u
x
���
L
0
+
Z
L
0
h
1
(x, t)u
t
dx,
usando a identidade u
tx
u
x
= 1
2
(u2
x
)
t
, obtida de modo semelhante à usada anteriormente,
e usando novamente o teorema de Leibniz, [6, Teorema 3 p.66], temos:
d
dt

1
2
Z
L
0
⇢(x)u2
t
dx+
1
2
Z
L
0
⌧u2
x
dx
�
= ⌧u
t
u
x
���
L
0
+
Z
L
0
h
1
(x, t)u
t
dx. (2.32)
A relação em (2.32) é denominda de equação da energia. Em (2.32) podemos destacar
duas expressões: a expressão
K(t) =
1
2
Z
L
0
⇢(x)u2
t
dx, (2.33)
31
2. Equação da onda
que é a energia cinética da corda, e a expressão
V (t) =
1
2
Z
L
0
⌧u2
x
dx, (2.34)
que é a energia potencial da corda. Finalmente,
E(t) = K(t) + V (t) (2.35)
é a energia total da corda. Destacaremos, agora, alguns comentários a respeito da
equação (2.32). Suponhamos que u seja solução do PV IF (2.14), neste caso teŕıamos
h
1
(x, t) = 0
u
t
(0, t) = u
t
(L, t) = 0
,
desta forma, podemos reescrever a equação em (2.32) como
d
dt

1
2
Z
L
0
⇢(x)u2
t
dx+
1
2
Z
L
0
⌧u2
x
dx
�
= 0. (2.36)
Tal resultado implica que a energia total seja constante em relação ao tempo, portanto,
temos o prinćıpio da conservação de energia para o fenômeno de vibração de cordas
com extremidades fixas e sem ação de forças externas. Dizemos também que o sistema
é conservativo.
Podemos representar a energia da corda vibrante no tempo t = 0 usando os dados
iniciais do PV IF (2.14) por
E(0) =
1
2
Z
L
0
⇢(x)g(x)2dx+
1
2
Z
L
0
⌧f 0(x)2dx.
Tal energia é mantida devido ao prinćıpio da conservação de energia.
Teorema 2.2. A solução do PV IF abaixo caso exista é única
8
>>><
>>>:
⇢(x)u
tt
= ⌧u
xx
+K
1
(t, x), em R
u(0, t) = h
1
(t), u(L, t) = h
2
(t), t > 0
u(x, 0) = f(x), u
t
(x, 0) = g(x), 0 < x < L
(2.37)
Demonstração. Suponhamos que o PV IF (2.37) possua duas soluções u
1
e u
2
. Por
solução, nós entenderemos uma função de classe C2 em R e cont́ınua em R̄ que satisfaça
todas as relações em (2.37). Isto implica h
1
(0) = f(0) e h
2
(L) = f(L). Estas relações
são de compatibilidade entre os dados iniciais e as condições de fronteira. Vejamos
32
2. Equação da onda
também que a função u = u
1
� u
2
é uma função de classe C2 em R, cont́ınua em R̄, e
satisfaz as relações
⇢u
tt
= ⇢(u
1
)
tt
� ⇢(u
2
)
tt
= (⌧(u
1
)
xx
+K
1
)� (⌧(u
2
)
xx
+K
1
)
= ⌧((u
1
)
xx
� (u
2
)
xx
)
= ⌧u
xx
e
u(0, t) = u
1
(0, t)� u
2
(0, t) = h
1
(t)� h
1
(t) = 0
u(L, t) = u
1
(L, t)� u
2
(L, t) = h
2
(t)� h
2
(t) = 0
u(x, 0) = u
1
(x, 0)� u
2
(x, 0) = f(x)� f(x) = 0
u
t
(x, 0) = (u
1
)
t
(x, 0)� (u
2
)
t
(x, 0) = g(x)� g(x) = 0.
Ou seja, u satisfaz o seguinte PV IF , que é do tipo (2.14):
8
>>><
>>>:
⇢u
tt
= ⌧u
xx
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(x, 0) = u
t
(x, 0) = 0.
Veja também que E(0) = 0, pois
E(0) =
1
2
Z
L
0
⇢(x)g(x)2dx+
1
2
Z
L
0
⌧f 0(x)2dx
=
1
2
Z
L
0
⇢(x)02dx+
1
2
Z
L
0
⌧02dx
= 0,
dáı, de (2.36) coclúımos
1
2
Z
L
0
⇢(x)u2
t
dx+
1
2
Z
L
0
⌧u2
x
dx = 0.
Isto implica u
t
(x, t) = u
x
(x, t) = 0, para (x, t) em R, pois ⇢(x) e ⌧ são positivos. Logo,
u(x, t) é constante em R. Usando a continuidade de u, em R̄, e as condições iniciais
u(x, 0) = u
t
(x, 0) = 0, podemos concluir que u = 0 em R̄, e finalmente u
1
= u
2
,
mostrando assim a unicidade de solução do problema (2.37).
2.6.1 Interpretação f́ısica das fórmulas da energia cinética (2.33)
e potencial (2.34)
• Energia cinética
33
2. Equação da onda
A energia cinética no instante t do trecho da corda entre os pontos de coordenadas
a e a+h, para h pequeno, é dado por 1
2
⇢(x)hu2
t
(x, t), onde x é um valor apropriado no
intervalo [a, a+ h].
Seja P = {r
1
= 0, ..., r
n
= L} uma partição do intervalo [0, L] e seja h pequeno,
somando as várias energias cinéticas dos trechos de corda nos subintervalos de P,
temos:
1
2
⇢(x
1
)hu
t
(x
1
, t) + ...+
1
2
⇢(x
n
)hu2
t
(x
n
, t)
com x
1
2 [r
1
, r
2
], ..., x
n
2 [r
n�1, rn]. Que podemos escrever
1
2
nX
N=1
⇢(x
N
)hu2
t
(x
N
, t).
Tomando limite quando n ! 1 temos, pela definição de integral como limite das
somas de Rieman,
lim
n!1
1
2
nX
N=1
⇢(x
N
)hu2
t
(x
N
, t) =
1
2
Z
L
0
⇢(x)u2
t
(x, t)dx.
• Energia potencial
Para a questão da energia potencial, vejamos o trabalho das forças de tensão. To-
memos novamente o trecho da corda entre x = a e x = a + h; a força de tensão neste
trecho, no instante t, é apenas na direção transversal, e é dada por
⌧u
x
(a+ h, t)� ⌧u
x
(a, t) = ⌧u
xx
(x, t)h, (2.38)
onde a igualdade acima é devida ao teorema do valor médio e x 2 [a, a+ h]. Sabendo
que a fórmula f́ısica para o trabalho é
T = ~F ~d, (2.39)
isto é, força vezes deslocamento, e que a velocidade é dada por
V =
4x
4t , (2.40)
obtemos usando (2.38), (2.39) e (2.40), que o trabalhorealizado em um pequeno
34
2. Equação da onda
retângulo [a, a+4x]⇥ [t, t+4t] é dado por
T = ⌧u
xx
(x, t)4xu
t
(x, t)4t.
Dáı, tomemos as partições X = {x
0
= 0, ..., x
i
= L} e T = {t
0
= 0, ..., t
j
= t
0
} dos
intervalos [0, L] e [0, t
0
], respectivamente, e com essas partições formemos os retângulos
r
ij
= [x
i
, x
i+1
] ⇥ [t
j
, t
j+1
]. Estes retângulos formam uma partição para a região R.
Somando todos os trabalhos realizados nestes retângulos da partição, temos:
nX
i=1
mX
j=1
⌧u
xx
(x
i
, t
j
)u
t
(x
i
, t
j
)4x
i
4t
j
,
onde 4x
i
= x
i
� x
i�1 e 4tj = tj � tj�1. Tomando limite quando n ! 1 e m ! 1,
temos, pela soma de Rieman, que
T = lim
n,m!1
nX
i=1
mX
j=1
⌧u
xx
(x
i
, t
j
)u
t
(x
i
, t
j
)4x
i
4t
j
=
Z Z
R
⌧u
xx
(x, t)u
t
(x, t)dA.
Então, utilizando o teorema de Fubini, temos:
T =
Z Z
R
⌧u
xx
(x, t)u
t
(x, t)dA =
Z
t0
0
Z
L
0
⌧u
xx
(x, t)u
t
(x, t)dxdt.
Integrando com relação a x por partes, chamando u = u
t
e dv = ⌧u
xx
, temos o seguinte:
T =
Z
t0
0

⌧u
x
(x, t)u
t
(x, t)
���
L
0
�
Z
L
0
⌧u
x
(x, t)u
tx
(x, t)dx
�
dt.
Portanto, se as extremidades da corda estão fixas, isto é, u(0, t) = u(L, t) = 0, nós
temos
T = �
Z
t0
0
Z
L
0
⌧u
x
(x, t)u
tx
(x, t)dxdt,
e dáı usando u
t
u
tx
= 1
2
(u2
x
)
t
e o teorema de Leibniz, [6, Teorema 3 p. 66], podemos
escrever:
T = �
Z
t0
0
1
2
d
dt
Z
L
0
⌧u2
x
dxdt,
o que implica pelo teorema fundamental do cálculo;
T = �1
2
Z
L
0
⌧u2
x
dx
���
t0
0
=
1
2
Z
L
0
⌧u2
x
(x, 0)dx� 1
2
Z
L
0
⌧u2
x
(x, t
0
)dx
.
35
2. Equação da onda
Esta última expressão mostra que o trabalho das forças de tensão para levar a corda da
configuração u(x, 0) até a configuração u(x, t
0
) depende tão somente das configurações
inicial e final, e isto é o que motiva a definição de energia potencial em (2.34).
2.7 Harmônicos, frequência e amplitude de uma
onda estacionária
Na seção 2.5, vimos, pelo método de Fourier, que as soluções do PV IF (2.14) são
do tipo
u
n
(x, t) = a
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
+ b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
sen
✓
n⇡ct
L
◆
.
Essas funções são denominadas de ondas estacionárias.
2.7.1 Partes de uma onda estacionária
Antes de tudo, é interessante sabermos que a denominação onda estacionária se
deve ao fato de que para x tal que n⇡x
L
= K⇡, isto é, x = KL
n
com k = 0, 1, 2, ..., n,
temos sen
�
n⇡x
L
�
= 0. Estes pontos, e apenas estes, permanecem parados se a vibração
da corda é descrita pela função u
n
. Tais pontos são denominados de nós da onda
estacionária e o ponto médio entre dois nós é chama do de antinó ou ventre.
Figura 2.3: onda estacionária
Fonte: https://www.infoescola.com/fisica/onda-estacionaria/
O comprimento da onda é a distância entre dois nós consecutivos. No caso das
ondas estacionárias descritas por u
n
, temos que seu comprimento é 2L
n
.
A função u
n
também é denominada de n-ésimo harmônico ou n-ésima tônica. O pri-
meiro harmônico recebe o nome de harmônico fundamental ou tônica fundamental, e os
demais são conhecidos como supertônicas. Fazendo ↵
n
=
p
a2
n
+ b2
n
e ✓
n
= arctan
⇣
an
bn
⌘
,
podemos reescrever u
n
, assim:
u
n
(x, t) = ↵
n
sen
✓
n⇡ct
L
+ ✓
n
◆
sen
⇣n⇡x
L
⌘
. (2.41)
36
https://www.infoescola.com/fisica/onda-estacionaria/
2. Equação da onda
O ângulo ✓
n
é chamado de fase.
Observe que para cada t fixado em (2.41) a corda é descrita como uma curva senóide.
Nos valores de t tais que
�
n⇡ct
L
�
+ ✓
n
= k⇡, com k = 0, ..., n, a corda passa pela posição
de equiĺıbrio (pois sen(k⇡) = 0, e dáı u
n
= 0).
Derivando a equação (2.41) com relação a t, temos o seguinte:
@
@t
u
n
(x, t) = ↵
n
cos
✓
n⇡ct
L
+ ✓
n
◆
n⇡c
L
sen
⇣n⇡x
L
⌘
. (2.42)
Aplicando (2.42) num ponto da posição de equiĺıbrio, conseguimos que
@
@t
u
n
(x, t) = ↵
n
cos(k⇡)
n⇡c
L
sen
⇣n⇡x
L
⌘
,
ou seja, o coseno atingirá seu valor máximo 1, e dáı conseguimos a velocidade máxima
atingida,
@
@t
u
n
(x, t) = ↵
n
n⇡c
L
sen
⇣n⇡x
L
⌘
.
Se considerarmos os valores de t tais que sen
⇥�
n⇡ct
L
�
± ✓
n
⇤
= ±1, neste caso a corda
terá seus desvios máximos da posição de equiĺıbrio pois, o seno atinge seus valores
extremos ±1 e então teremos
u
n
(x, t) = ±↵
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
.
Como sen
⇥�
n⇡ct
L
�
± ✓
n
⇤
= ±1, devemos ter n⇡ct
L
+ ✓
n
= k⇡
2
, com k = 1, 3, ..., 2n + 1.
Portanto,
@
@t
u
n
(x, t) = ↵
n
cos
✓
k⇡
2
◆
n⇡c
L
sen
⇣n⇡x
L
⌘
= 0,
ou seja, teremos que a velocidade nos pontos de equiĺıbrio é 0.
Sabendo que a fórma básica de uma curva senóide ao longo do tempo é dada por
y(t) = A sen(2⇡ft+ '), (2.43)
onde
A = amplitude
2⇡f = frequência ângular = !
' = fase
t = tempo
,
podemos comparar (2.42) com (2.43) e ver se o movimento da corda obedece uma lei
senoidal de amplitude ↵
n
sen
�
n⇡x
L
�
. O peŕıodo de uma onda é caculado pela fórmula
T
n
= 2L
!
, portanto, no caso de (2.42), temos que T
n
= 2L
nc
, e a frequência de vibração
37
2. Equação da onda
é dada por !
n
= T�1
n
= nc
2L
, que não depende de x e t, logo é a mesma em todos os
pontos da corda.
Dáı,
!
n
=
nc
2L
e ↵
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
são denominadas, respectivamente frequência ou frequência natural e amplitude da
n-ésima tônica.
2.7.2 A energia do n-ésimo harmônico
Consideremos o n-ésimo harmônico u
n
produzido pela corda vibrante com extremi-
dades fixas
u
n
(x, t) = ↵
n
sen
✓
n⇡ct
L
+ ✓
n
◆
.
De onde temos
@
@t
u
n
(x, t) = ↵
n
n⇡c
L
cos
✓
n⇡ct
L
+ ✓
n
◆
sen
⇣n⇡x
L
⌘
@
@x
u
n
(x, t) = ↵
n
n⇡
L
sen
✓
n⇡ct
L
+ ✓
n
◆
cos
⇣n⇡x
L
⌘
,
e dái, usando as fórmulas da energia cinética e da energia potencial, conseguimos que
a energia total é
E
n
(t) =
1
2
Z
L
0
⇢↵2
n
n2⇡2c2
L2
cos2(�
n
) sen2
⇣n⇡x
L
⌘
dx+
1
2
Z
L
0
⌧↵2
n
n2⇡2
L2
sen2(�
n
) cos
⇣n⇡x
L
⌘
dx,
onde �
n
= n⇡ct
L
+ ✓
n
. Supondo que ⇢ e ⌧ sejam constantes, temos que
E
n
(t) =
n2⇡2c2
2L2
⇢
Z
L
0
↵2
n
cos2(�
n
) sen2
⇣n⇡x
L
⌘
dx+
n2⇡2
2L2
⌧
Z
L
0
↵2
n
sen2(�
n
) cos2
⇣n⇡x
L
⌘
dx.
Usando relações de ortogonalidade, podemos reescrever E
n
da seguinte forma:
E
n
(t) =
n2⇡2
4L
↵2
n
(⇢c2 cos2(�
n
) + ⌧ sen2(�
n
)),
sabendo que c2 = ⌧
⇢
e que sen2(�
n
) + cos2(�
n
) = 1, segue
E
n
(t) =
n2⇡2
4L
↵2
n
⇢c2 = M⇡2↵2
n
!2
n
,
onde M = L⇢ é a massa da corda e !
n
é a frequência do n-ésimo harmônico.
Teorema 2.3. A energia da corda é a soma das energias dos vários harmônicos.
38
2. Equação da onda
Demonstração. Para provarmos tal resultado, basta calcularmos a energia no instante
t = 0, pois, como vimos na seção anterior, a corda vibrante com extremidades fixas
forma um sistema conservativo. Assim, a energia E da corda é:
E =
1
2
Z
L
0
⇢g(x)2dx+
1
2
Z
L
0
⌧f 0(x)2dx.
Usando as expressões (2.20) e (2.22), temos
E =
1
2
Z
L
0
⇢
" 1X
n=1
n⇡c
L
b
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘#2
dx+
1
2
Z
L
0
⌧
" 1X
n=1
n⇡
L
a
n
cos
⇣n⇡x
L
⌘#2
dx.
Como a convergência da séries acima é uniforme, podemos escrever
E =
⇢
2
1X
n=1
Z
L
0
n2⇡2c2
L2
b2
n
sen2
⇣n⇡x
L
⌘
dx+
⌧
2
1X
n=1
Z
L
0
n2⇡2
L2
a2
n
cos2
⇣n⇡x
L
⌘
dx,
e usando as relações de ortogonalidade, temos que
E =
1
2
1X
n=1

⇢n2⇡2c2
2L
b2
n
+
⌧n2⇡2
2L
a2
n
�
=
1
2
1X
n=1
n2⇡2
2L
(c2⇢b2
n
+ ⌧a2
n
);
como ⌧ = c2⇢, temos
E =
1X
n=1
n2⇡2c2⇢
4L
(b2
n
+ a2
n
) =
1X
n=1
n2⇡2c2⇢↵2
n
4L
.
Ou seja,
E =
1X
n=1
E
n
.
2.8 A corda dedilhada
Nesta seção, abordaremos matematicamente como se comporta a corda quando é
dedilhada. Consideraremos uma corda com extremidades fixas posta a vibrar graças a
um deslocamento em sua posição de equiĺıbrio. Dáı, teŕıamos que as suas configurações
39
2. Equação da onda
seriam descritas pela função u(x, t), que é solução do PV IF (2.14), com
f(x) =
8
>><
>>:
hx
L
, para0  x  a
h(x�L)
a�L , para a  x  L
g(x) = 0.
(2.44)
Esse é o modelo ideal do que ocorre quando se dedilha cordas de uma harpa, ou
quando se toca instrumentos de corda como violão, cavaquinho e guitarra. A figura
abaixo representa geometricamente este modelo.
Figura 2.4: corda dedilhada
Fonte:[2, p. 145]
A solução do PV IF (2.14), neste caso, é dada pela expressão (2.19), com b
n
= 0,
pois g(x) = 0, e para calcularmos a
n
vejamos que, pela expressão geral do coeficiente
de Fourier a
n
, temos
a
n
=
2
L
Z
L
0
f(x) sen
⇣n⇡x
L
⌘
dx,
que substituindo pela função f(x), definida em (2.44), resulta
a
n
=
2
L
Z
a
0
hx
a
sen
⇣n⇡x
L
⌘
dx+
2
L
Z
L
a
h(x� L)
(a� L) sen
⇣n⇡x
L
⌘
dx. (2.45)
Calculando separadamente as integrais em (2.45), temos que a primeira intergral, uti-
lizando integração por partes com u = hx
a
e dv = sen
�
n⇡x
L
�
, tem como solução
� 2h
n⇡
cos
⇣n⇡a
L
⌘
+
2hL
an2⇡2
sen
⇣n⇡a
L
⌘
. (2.46)
Usando integração por partes novamente agora na segunda integral de (2.45) com,
40
2. Equação da onda
u = h(x�L)
a�L e dv = sen
�
n⇡x
L
�
, obtemos
2h
n⇡
cos
⇣n⇡a
L
⌘
� 2hL
(a� L)n2⇡2 sen
⇣n⇡a
L
⌘
. (2.47)
Voltando à expressão principal (2.45), temos que ela é igual a
a
n
= � 2h
n⇡
cos
⇣n⇡a
L
⌘
+
2hL
an2⇡2
sen
⇣n⇡a
L
⌘
+
2h
n⇡
cos
⇣n⇡a
L
⌘
� 2hL
(a� L)n2⇡2 sen
⇣n⇡a
L
⌘
=
2hL
an2⇡2
sen
⇣n⇡a
L
⌘
� 2hL
(a� L)n2⇡2 sen
⇣n⇡a
L
⌘
= sen
⇣n⇡a
L
⌘ 2hL
n2⇡2

1
a
� 1
a� L
�
= � 2hL
2
a(a� L)n2⇡2 sen
⇣n⇡a
L
⌘
.
Assim, o n-ésimo harmônico, obtido substituindo a
n
e b
n
na equação (2.18), é dado por
u
n
(x, t) =
2hL
a(L� a)n2⇡2 sen
⇣n⇡a
L
⌘
sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
.
A equação em (2.19) é a superposição desses harmônicos. É importante perceber
que, dependendo do ponto a onde se dedilha a corda, alguns harmônicos podem estar
ausentes na expressão de u. Dizemos, então, que estes harmônicos estão mudos. Para
ilustrar esta definição, consideremos que a seja um ponto de nó do n-ésimo harmônico,
ou seja, a = KL
n
. Dáı temos em u
n
que
u
n
(x, t) =
2hL2
KL
n
�
L� KL
n
�
n2⇡2
sen
 
n⇡KL
n
L
!
sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
=
2hL2
KL
n
�
L� KL
n
�
n2⇡2
sen(K⇡) sen
⇣n⇡x
L
⌘
cos
✓
n⇡ct
L
◆
= 0.
Portanto, nos pontos de nós temos que o n-ésimo harmônico permanecerá mudo. Vemos
também que o primeiro harmônico nunca permanecerá mudo,
u
1
(x, t) =
2hL2
a(L� a)⇡2 sen
⇣⇡a
L
⌘
,
pois a u
1
(x, t) será zero apenas no ponto de nó, logo, não temos uma função identica-
mente nula.
As vibrações de uma corda se transmitem pelo ar, produzindo, assim, ondas sonoras;
desta forma podemos entender o som produzido pela corda vibrante como sendo uma
41
2. Equação da onda
superposição de harmônicos.
Fisicamente, as propriedades do som são funções que dependem de vários parâmetros,
os quais podem ser representados em u
n
de acordo com cada caso. A altura do som,
por exemplo, é medida em hertz (ciclos por segundo); ela é a frequência do harmônico
fundamental. Quanto maior é a frequência, mais alto é o som. Os sons aud́ıveis têm
frequências variando entre 16 e 16.000 hertz.
A altura do som depende das condições f́ısicas da corda. Temos que
!
n
=
nc
2L
,
dáı,
!
1
=
c
2L
.
Como c =
q
⌧
⇢
, conseguimos
!
1
=
1
2L
r
⌧
⇢
.
Portanto, se diminuirmos o comprimento L da corda, a altura aumentará. Empirica-
mente, este artif́ıcio é usado quando na harpa se diminui o comprimento da corda por
meio de um pedal. Também vemos isso quando os comprimentos de cordas do violão
ou violino são diminuidos com a pressão dos dedos em certos pontos.
De modo análogo, vemos em !
1
, que a altura do som aumenta segundo a raiz
quadrada da força de tensão. Dáı a explicação para o porquê de afinarmos as cordas
do violão, violino ou qualquer instrumento de cordas, pois, com o tempo, a tensão na
corda varia, e ela passa a produzir sons em alturas diferentes.
A intensidade do som depende da energia da corda vibrante. No caso da corda
dedilhada, essa energia é
E = n⇡2
1X
n=1
!2
n
a2
n
.
Sabendo pelo teorema 2.3 que E =
P
E
n
, temos que a intensidade varia proporcio-
nalmente ao quadrado do deslocamento dado à corda no ponto onde se dedilha, por
exemplo: se dobrarmos h (altura que puxamos a corda ao dedilhar) como temos na
expressão da energia o a2
n
, tal valor quadruplicará.
Por último, o timbre do som é uma qualidade que permite distinguir sons de mesma
altura e mesma intensidade. Ele depende da forma de u(x, t) e, portanto, das su-
pertônicas. Assim, sons de mesma altura e intensidade podem ser executados ao mesmo
tempo por intrumentos cuja vibração, pode ser propiciada por dedilhamento (violão),
percussão (piano) ou atrito de um arco (violoncelo), de modo que não sejam confun-
didos entre si. O que faz com que este interessante fenômeno ocorra é o timbre, pois a
42
2. Equação da onda
forma de u(x, t) é diferente em cada um dos casos.
2.9 Vibrações forçadas
Nesta seção, consideraremos o problema de vibração de uma corda que possui ex-
tremidades fixas e está sujeita à ação de forças externas. O deslocamento u(x, t) é
solução do seguinte PV IF :
8
>>>>>><
>>>>>>:
u
tt
= c2u
xx
+ g(x, t)
u(0, t) = u(L, t) = 0, 8 t > 0
u(x, 0) = f
0
(x), 8 0  x  L
u
t
(x, 0) = f
1
(x), 8 0  x  L.
(2.48)
Vamos proceder informalmente quanto à diferenciabilidade das funções envolvidas,
a fim de descobrir um candidato a solução do PV IF (2.48). Este candidato tem a
forma idealizada por
u(x, t) =
1X
n=1
c
n
(t) sen
⇣n⇡x
L
⌘
, (2.49)
com os coeficientes c
n
(t) a serem determinados.
Suponhamos que para cada t a função g(x, t) possa ser escrita como uma série de
Fourier do tipo
g(x, t) =
1X
n=1
g
n
(t) sen
⇣n⇡x
L
⌘
. (2.50)
Procedendo informalmente quanto à derivação termo a termo de (2.49), temos usando
a equação da onda, que
1X
n=1
c00
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
= �c2
1X
n=1
n2⇡2
L2
c
n
sen
⇣n⇡x
L
⌘
+
1X
n=1
g
n
(t) sen
⇣n⇡x
L
⌘
.
Observando os coeficientes de Fourier na expressão acima, segue que
c00
n
+
n2⇡2c2
L2
c
n
= g
n
(t),
que podemos escrever,
c00
n
+ (2⇡!
n
)c
n
= g
n
, 8 t > 0, (2.51)
onde !
n
= nc
L
é a frequência do n-ésimo harmônico. Usando as condições iniciais do
43
2. Equação da onda
PV IF (2.48), conclúımos
f
0
(x) = u(x, 0) ! f
0
(x) =
1X
n=1
c
n
(0) sen
⇣n⇡x
L
⌘
(2.52)
e
f
1
(x) = u
t
(x, 0) ! f
1
(x) =
1X
n=1
c0
n
(0) sen
⇣n⇡x
L
⌘
, (2.53)
que mostra, através dos coeficientes de Fourier de f
0
e f
1
, que devemos ter
c
n
(0) =
2
L
Z
L
0
f
0
(x) sen
⇣n⇡x
L
⌘
dx (2.54)
e
c0
n
(0) =
2
L
Z
L
0
f
1
(x) sen
⇣n⇡x
L
⌘
dx. (2.55)
Assim, temos um PV I envolvendo uma equação diferencial ordinária de segunda
ordem. Tal problema é dado em (2.51)-(2.54)-(2.55), onde a solução geral da EDO
(2.51) é da forma
c
n
(t) = a
n
cos(2⇡!
n
t) + b
n
sen(2⇡!
n
t) + ĉ
n
(t),
onde a
n
e b
n
são constantes arbitrárias que serão determinadas de modo que (2.54) e
(2.55) sejam satisfeitas; e ĉ
n
(t) é uma solução particular da EDO (2.51) que é obtida
através do método da variação dos parâmetros.
Portanto, determinamos c
n
(t) reslvendo o PV I (2.51)-(2.54)-(2.55), e dáı temos
que a equação (2.49) deve ser solução do PV IF (2.48). Mas, para que isto ocorra, é
necessário pormos hipóteses sobre a diferenciabilidade das funções g, f
0
e f
1
, para que
desta maneira possamos provar que a série em (2.49) converge e define uma solução
para (2.48). Tal problema já foi discutido de maneira análoga anteriormente quando
vimos na seção 2.5 o teorema 2.1.
2.10 A corda infinita
Iremos estudar as vibrações de uma corda de comprimento infinito. Portanto, como
podemos pensar intuitivamente, neste caso não há condições de fronteira a serem sa-
tifeitas e, desta forma, o problema consiste