EXPRESSOES^J EQUACOES E INEQUACOES ALGEBRICAS

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EXPRESSÕES, EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES ALGÉBRICAS
 TEMA 1 – EXPRESSÕES E EQUAÇÕES 
Para compreendermos o que é uma expressão algébrica, imagine a seguinte situação:
Fernando é encanador e cobra 20 reais pelo orçamento e mais 30 reais pela hora de trabalho. Na casa da dona Joana, uma pia apresentava vazamento. Fernando calculou que gastaria duas horas para concertar a pia.
Assim, o preço cobrado foi:
Na situação anterior, conhecíamos todos os valores envolvidos: o preço fixo, o preço por hora e a quantidade de horas. Alguns desses valores são fixos: o valor do orçamento e o preço por hora. Porém, à medida que o número de horas se altera, o valor cobrado é diferente. Veja:
Podemos indicar o valor cobrado por Fernando por meio de uma expressão algébrica, na qual indica a quantidade de horas de trabalho. Nesse caso, representa uma variável. O número que multiplica a variável é chamado de coeficiente. 
Veja outros exemplos de expressões algébricas:
Não resolvemos expressões algébricas; podemos obter os valores numéricos delas, substituindo suas variáveis por números. Veja um exemplo:
Se tomarmos a expressão , podemos obter seu valor numérico para e . Assim, teremos:  Conforme atribuirmos outros valores para as variáveis, a expressão algébrica terá outros valores numéricos.
 REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS
Uma tarefa bastante importante na matemática é saber representar algebricamente situações reais. Para isso, é necessário modelar corretamente as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão. Termos como dobro, metade e diferença se referem a operações matemáticas e precisam ser considerados na escrita algébrica.
Vejamos alguns exemplos.
Se um sanduíche custa s reais e um refrigerante r reais, podemos usar expressões algébricas para indicar o preço, em reais, de:
a) Dois sanduíches: 2s
b) Sete refrigerantes: 7r
c)  Um sanduíche e três refrigerantes: s + 3r
d) Cinco sanduíches e dois refrigerantes: 5s + 2r
Note que, no caso do coeficiente igual a 1, podemos omiti-lo.
As expressões algébricas também podem ser utilizadas para representar o perímetro de uma figura com medidas desconhecidas
O perímetro corresponde à soma de todas as medidas dos lados da figura. Nesse caso, temos:  Perceba que só podemos somar aquilo que é semelhante. 
 EQUAÇÕES
Quando temos o resultado de uma expressão algébrica, isto é, quando temos igualdade envolvendo uma expressão, ela se caracteriza como equação. Tal equação pode ser resolvida para que obtenhamos o valor da variável, que nesse caso é chamada de incógnita. 
Vejamos um exemplo de equação, voltando ao exemplo do encanador Fernando. Na casa de dona Helena, Fernando recebeu 140 reais. Quantas horas trabalhou lá?
Para resolver essa situação, partimos da expressão que se refere ao preço cobrado por Fernando, transformando-a em uma igualdade.
A resolução de uma equação demanda técnicas ou estratégias conforme o grau que ela possui. Para saber o grau de uma equação, observamos o maior expoente de sua incógnita. No nosso exemplo, 20 + 30x = 140 é uma equação de 1º grau, já que o expoente de x é igual a 1. Veremos como resolver equações de 1º grau em nosso próximo tópico
 EQUAÇÕES DE 1º GRAU
Uma equação de 1º grau tem a forma geral igual a  com 
Para resolvermos uma equação de 1º grau, podemos equilibrar essa equação. Vejamos um exemplo:
Na situação anterior, podemos subtrair 50 dos dois lados da equação. Sempre que temos uma equação, ao somarmos ou subtrairmos o mesmo valor dos dois lados da equação, isso não altera o resultado esperado. O mesmo acontece quando multiplicamos ou dividimos os dois lados dessa equação pelo mesmo valor. 
Na prática, para resolvermos equações de 1º grau, costumamos isolar a incógnita, passando para o outro membro da equação os valores que estão no 1º membro, invertendo a operação. Assim, se temos uma soma, passamos subtraindo, uma multiplicação passamos dividindo, e assim por diante. Essa é a forma resumida do método de equilíbrio de equações. Vamos resolver a equação da situação do Fernando, que vimos anteriormente:
Assim, descobrimos que Fernando havia trabalhado quatro horas na casa de dona Helena. 
Para resolver equações, também precisamos ficar atentos às regras básicas de sinais, pois podemos operar com números negativos. Veja este exemplo:
Há, ainda, casos que envolvem a propriedade distributiva da multiplicação:
Outra situação possível é quando temos incógnita dos dois lados da equação. Nesse caso, procuramos manter a incógnita em um dos lados:
Quando, ao efetuarmos a resolução, nos deparamos com , podemos multiplicar toda a equação por , trocando o sinal de cada termo:
Há equações que envolvem frações, as quais podem ser resolvidas com a utilização do mínimo múltiplo comum. Quando deixamos os dois lados da equação com o mesmo denominador, podemos simplificá-lo. Vejamos um exemplo:
Para representar a solução de uma equação, podemos usar um conjunto, chamado de conjunto solução. No exemplo anterior, podemos representar a solução como 
 EQUAÇÕES DE 2º GRAU
Uma equação de 2º grau, também chamada de equação quadrática, tem a forma geral , com  
A solução de uma equação de 2º grau é dada quando encontramos valores de x que satisfaçam a equação dada. Esses valores são chamados de raízes ou zeros da equação. 
Nesta aula, consideraremos somente respostas reais possíveis para equações de 2º grau. Assim, a equação poderá:
· Não ter raízes reais;
· Ter uma única raiz real;
· Ter duas raízes reais.
Veja alguns exemplos de equações de 2º grau:
Na primeira equação, temos 
Na segunda equação, temos 
Na última equação, temos 
Como os valores de  e  na equação podem ser iguais a zero, uma equação de 2º grau pode ter diferentes formatos:
Equação de 2º grau completa:
Quando temos 
Equação de 2º grau incompleta:
Quando temos 
A equação resulta em uma única raiz real igual a zero. 
Para resolvermos equações incompletas de 2º grau, podemos isolar a incógnita ou usar a fatoração
 EQUAÇÕES DE 2º GRAU INCOMPLETAS 
Vamos analisar possibilidades de resolução de equações quadráticas incompletas.
 Equações de 2º grau com b = 0
A resolução de equações quadráticas com  pode ocorrer com o isolamento da incógnita. Vejamos um exemplo: 
A operação inversa da potenciação é a radiciação. Nesse caso, levamos em consideração que valores negativos elevados ao quadrado também resultam em valor positivo. Por esse motivo, ao indicarmos a operação inversa, consideramos valores positivos e negativos:
Nos números reais, não há raiz quadrada de números negativos. Por isso, algumas equações podem não ter solução. Veja:
 Equações de 2º grau com c = 0
A resolução de equações quadráticas com  pode ocorrer com fatoração. Vejamos um exemplo: 
Nesse caso, devemos lembrar que, para que um produto resulte em zero, ao menos um dos fatores é igual a zero. Então, temos duas possibilidades: ou o primeiro fator  é igual a zero, ou o segundo :
  Equações de 2º grau completas
Equações quadráticas completas são comumente resolvidas pela chamada fórmula de Bhaskara. 
Para usar esse procedimento, devemos calcular o valor do discriminante da equação, dado por:
Dada uma equação  com  e números reais e , temos que:
- Se  a equação não tem solução real;
- Se a equação tem uma única solução real;
- Se a equação possui duas soluções reais.
As possíveis raízes são obtidas pela fórmula:
Vejamos um exemplo:
Temos  Assim:
Logo, temos duas opções de respostas:
Outra maneira de resolver equações quadráticas é o método de soma e produto. Nesse caso, procuramos valores que atendam às seguintes condições:
Dada uma equação  com  e números reais e , temos que suas raízes são , de modo que:
Esse método é bastante prático, principalmente quando a = 1. 
Atente-se para o exemplo:
Procuramos raízes que satisfaçam às condições a seguir:
Os valores procuradossão 1 e 9, que são as raízes da equação. Ou seja, S = {1, 9}.
 INEQUAÇÕES
As inequações são desigualdades que auxiliam a determinar um intervalo, de maneira que uma desigualdade dada seja válida, como no exemplo a seguir:
As inequações indicam um intervalo de respostas possíveis que tornem válida a desigualdade.
 INEQUAÇÕES DE 1º GRAU
Temos quatro possibilidades para a forma geral da inequação de 1º grau. Vejamos:
Nos quatro casos, temos que e  são números reais e 
Para resolver uma inequação de 1º grau, podemos usar o mesmo procedimento que usamos na equação de 1º grau, isolando a incógnita. Se, ao fazer esse isolamento, ocorrer a necessidade de multiplicar toda a inequação por (-1) ou outro número negativo, deveremos alterar o sinal da inequação.
Vejamos exemplos de resolução de inequações de 1º grau:
O conjunto solução pode ser escrito como: 
 INEQUAÇÕES DE 2º GRAU
As inequações de 2º grau podem ser escritas, em sua forma geral, de quatro maneiras:
Consideramos que  e  são números reais e 
Para resolver uma inequação quadrática, podemos resolver a equação correspondente, sem considerarmos o sinal da desigualdade. Depois, deveremos fazer o estudo do sinal dessa equação. Esse estudo é mais bem compreendido graficamente. Portanto, resolveremos inequações de 2º grau quando estudarmos as funções quadráticas. 
 SISTEMAS LINEARES DE EQUAÇÕES
Muitas situações cotidianas envolvem mais de uma incógnita. Imagine, por exemplo, que você deseja descobrir o preço de dois produtos diferentes, conhecendo algumas informações sobre eles. Você pode, também, precisar identificar valores de três, quatro ou mais incógnitas. 
Para calcular o valor de várias incógnitas, precisaremos de várias equações. Quando todas se referem aos mesmos dados e valores, temos sistemas de equações. Esses sistemas são lineares quando o grau das equações é igual a um. 
Nem todo sistema de equação tem solução. Dizemos que esses sistemas podem ser: compatível determinado (com apenas uma solução), compatível indeterminado (com infinitas soluções) ou incompatível (sem soluções). Outra forma de nomear os sistemas como compatíveis ou incompatíveis é “possíveis ou impossíveis”. 
 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 
Uma maneira de resolver um sistema linear é o método da substituição. Nele, isolamos a incógnita de uma das equações e substituímos a expressão encontrada na outra equação.
Veja o exemplo a seguir:
Podemos escolher a equação que tem a incógnita em sua forma mais simples (no caso, a primeira), para evitar operações com frações. Isolamos uma das incógnitas:
Agora, substituímos a expressão encontrada na segunda equação:
Para encontrar o valor de y, voltamos à forma isolada:
Assim,  e 
Ao indicarmos a solução, usamos parênteses para representar que se trata de um par ordenado: 
 MÉTODO DA ADIÇÃO
Outra maneira bastante utilizada para a resolução de sistemas é somar as equações com o objetivo de simplificar uma das incógnitas. Alguns sistemas já são apresentados de modo que, ao somarmos as equações, uma incógnita é simplificada (zerada). Veja:
 Preste atenção ao que acontece ao somarmos as equações:
Para descobrir o valor de y, basta substituir x em uma das equações:
Logo, a solução é .
Quando o sistema não zera uma das incógnitas imediatamente, podemos efetuar algumas multiplicações, de forma a tornar possível essa simplificação. Esses procedimentos requerem certa prática, para que saibamos identificar o número correto a ser usado como fator de multiplicação. Mas um método eficiente é multiplicar a primeira equação pelo coeficiente da primeira incógnita da segunda equação; e a segunda equação, pelo oposto do coeficiente da mesma incógnita da primeira equação.
Vejamos um exemplo:
Nesse sistema, se somarmos as equações como estão, não zeraremos uma das incógnitas, pois teremos  Assim, o procedimento não ajudaria na solução do sistema. Mas podemos multiplicar cada equação por um determinado valor, para que a soma resulte na anulação de uma das incógnitas. Usando o método indicado anteriormente podemos multiplicar toda a primeira equação por  e toda a segunda equação por -2. 
Note que, agora, ao somarmos as equações, eliminaremos a incógnita x:
Já descobrimos, nesse caso, o valor de y.
Para encontrar x, substituímos em uma das equações originais:
Temos como solução (-3, 10).