Aplicação de Derivadas - Cálculo

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- RESUMÃO – 
APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
(Cálculo) 
Formulário, Dicas e Macetes para a Prova 
 
 
 
 
 
 
 
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Reta Tangente 
A reta tangente representa o quanto uma função cresce ou decresce. Para encontrá-la 
podemos usar a forma 
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
 
Em que 𝑚 é o coeficiente angular e (𝑥0, 𝑦0) é o ponto de tangência. 
O coeficiente angular 𝑚 nada mais é do que a derivada da função à qual a reta é 
tangente. 
 
Exemplo: Reta tangente à função 𝑓(𝑥) = 3𝑥² + 𝑥 no ponto (1, 4). 
 
𝑦 − 4 = 𝑚(𝑥 − 1) 
↓ 
𝑚 = 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 + 1 → 𝑓′(1) = 7 
↓ 
𝑦 − 4 = 7(𝑥 − 1) → 𝑦 = 7𝑥 − 3 
 
Taxa Relacionada 
Taxa de Variação: 
Um dos grandes significados físicos da derivada é o fato de ela representar a taxa de 
variação de uma grandeza em relação a outra. Exemplo: 
1. “Taxa de variação da distância em relação ao tempo” = “o quão a distância 
vai alterar, alterando um pouco do tempo” = 
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
 = “velocidade” 
De um modo geral... 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
 → "𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑚 𝑥, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑦 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎" 
 
Taxa relacionada: 
Quando temos variáveis que estão interligadas fisicamente, e queremos saber a 
variação de uma delas em relação a uma outra terceira, podemos usar essa relação 
física delas. 
 
Bem, para matar um problema de taxas relacionadas,em muitos casos se pode tomar 
como base: 
1. Encontar uma relação entre as variáveis do problema. 
2. Taxa de variação de grandezas é derivada. Então derive a relação 
implicitamente em relação a variável que você quer (fique atento, pois 
normalmente aplica-as a regra da cadeia) 
3. Interprete bem os dados e dados... 
 
4. Depois só substitua e faça o algebrismo ;) 
 
Taxa Relacionada – Casos Clássicos 
Pitágoras 
Quase sempre a quação que relaciona as variáveis do problema não é fornecida no 
enunciado. Se isso acontecer, fique esperto! Aparceu triângulo retângulo, muito 
provavelmente você usará Pitágoras para relacionar as variáveis. 
 
Perímetros, áreas e volumes 
São comuns problemas enolvendo perímetros, áreas e volumes. Então, fica ligado 
nessas fórmulas que podem ser usadas para relacionar as variáveis nesses tipos de 
problema: 
 
 
 
Ângulos 
Vamos usar relações trigonométricas para achar ângulos. Um bom macete é usar o 
triânguo retângulo para relacionar as variáveis. Além disso, têm algumas relações que 
são importantes saber: 
 
Lei dos Cossenos 
𝐴² = 𝐵² + 𝐶² − 2𝐵𝐶 cos(Â) 
 
 
 
 
 
 
Lei dos Senos 
𝐴
sen Â
=
𝐵
sen �̂�
=
𝐶
sen �̂�
 
 
sen(𝑎 ± 𝑏) = sen 𝑎 cos 𝑏 ± sen 𝑏 cos 𝑎 
cos(𝑎 ± 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 ± sen 𝑎 sen 𝑏 
 
Concavidade 
Para determinar se uma função é côncava pra cima ou pra baixo temos que analisar o 
sinal da segunda derivada, de acordo com o quadro abaixo: 
 
Ponto de Inflexão 
É o ponto onde a função troca a concavidade. Para achá-lo basta achar as raízes da 
segunda derivada da função. Por exemplo, no caso da função 𝑥³ a segunda derivada é 
6𝑥 e a raiz dela é 𝑥 = 0. Olhando pro gráfico percebemos que esse é exatamente o 
ponto em que a concavidade muda. 
 
 
Máximos e Mínimos 
Para achar os pontos de máximo e mínimo, primeiro temos que achar os candidatos a 
serem esses pontos. Esses candidatos são chamados pontos críticos e são encontrados 
fazendo 
 
𝑓′(𝑥) = 0 
Após achar os pontos críticos temos que saber se eles de fato são máximos ou 
mínimos. Pra isso podemos usar dois testes diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste da Primeira Derivada 
Resumidamente, esse teste consiste em observar o sinal da derivada antes e depois do 
ponto crítico analisado. Se o sinal mudar de positivo para negativo, o ponto é um 
máximo. Se mudar de negativo para positivo é um mínimo. 
 
Teste da Segunda Derivada 
Consiste em analisar se a segunda derivada é positiva ou negativa no ponto crítico 
analisado. 
 
Esse teste é bastante prático, mas só se a primeira derivada for simples de se derivar 
novamente. 
 
Máximos e Mínimos locais ou globais 
Os máximos e mínimos locais são máximos e mínimos apenas em um pedaço da 
função. Os máximos e mínimos globais são os maiores ou menores valores que a 
função atinge como um todo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Os procedimentos que estudamos nos dão máximos e mínimos locais, pra saber se 
também são máximos ou mínimos globais precisamos comparar os valores da função 
nesses pontos com os valores da função nas fronteiras do seu domínio. 
 
Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua 
A assíntota oblíqua ocorre quando a função se aproxima de uma reta quando 𝑥 → ±∞. 
Para achar esse tipo de assíntota temos que resolver os seguintes limites: 
 
lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 𝑎 
lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥 = 𝑏 
E com isso podemos determinar a assíntota oblíqua, que tem a forma: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
Como esboçar 
Para esboçar esse tipo de assíntota, basta determinar a equação da reta e marcar dois 
pontos pertencentes a ela. Com essas marcações, é só traçar a reta que ligue os dois 
pontos. A função irá se aproximar dessa reta, sem nunca encostar. 
 
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