Prova_01_EDO_Eng_22_09 (1)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
1a Lista de Exerćıcios Equações Diferenciais Ordinárias Aplicadas I
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO e CIVIL
Professora: Geizane Lima da Silva
(1) Determine qual ou quais das funcões y1(x) = x
2, y2(x) = x
3 e y3(x) = e−x são soluções da equação
(x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0
(2) Classifique as equações quanto ao tipo, a ordem, o grau e a homogeneidade. Justifique o porque de
tal classificação.
a) t2
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ 2y = sin t;
b) y′′′ + t(y′)3 + ty = t3
c) t2y′′ − 3t sin(y)y′ + 4y = 0;
d) (y′′′)2 + 2ety′′ + yy′ = 0
(3) Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique o intervalo no qual a solução
geral é definida:
a) (x2 + 4)
dy
dx
+ xy = 0
b) x2y′ + xy = 1
c) (1 + ex)
dy
dx
+ exy = 0
(4) Resolva as equações de Bernoulli
a)
dy
dx
= y(xy3 − 1)
b) x2
dy
dx
+ y2 = xy
c) t2y′ + 2ty − y3 = 0, t > 0;
(5) Resolva as equações de Ricatti:
a)
dy
dx
= −2 − y + t2, y1 = 2;
b) y′ − t3y + t2y2 = 1, y1 = t;
c)
dy
dx
= 6 + 5y + y2.
1
2
(6) Pesquise sobre as equações de Clairaut, explique o método de solução para esse tipo de equação e
resolva a equação:
y = xy′ + 1 − ln y′.
(7) Verifique se as equações são exatas e as resolva.
a) (3y2 − x2 + 1)dx+ (2xy)dy = 0, x > 0
b) (3xy − 4y)dx+ (2x2 − 4x)dy = 0, x > 0 e y > 0
(8) Determine uma função γ, cujo gráfico γ(x) = (x, y) passa pelo ponto (1, 2) e seja normal ao campo
~F = x~i+ 2y~j. (dica: use o fato que (γ′.F ) = 0. Determine qual curva a solução descreve.
(9) Determine as condições para que a equação
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
admita um fator integrante da forma u(x, y) = h(x2 + y2), onde h(t) é função de uma variável.
(10) Resolva as equações usando uma substituição adequada.
a)
dy
dx
=
x2 + y2
xy
b)
dy
dx
=
y
x
+ 3 tan
y
x
c) xe2y
dy
dx
+ e2y =
lnx
x