AOL2 CÁLCULO INTEGRAL

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1. Pergunta 1
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A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para a resolução de inúmeros limites. Ela permite a eliminação de certos tipos de indeterminações, apenas derivando o numerador e o denominador de uma função que é escrita em forma de razão.
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e com base nos seus conhecimentos acerca da regra do limite fundamental trigonométrico e da regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5.
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2.
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1.
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
F, F, V, V.
2. 
V, F, V, V.
3. 
V, F, F, V.
4. 
V, F, V, F.
5. 
F, V, F, F.
2. Pergunta 2
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As funções circulares são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser categorizadas entre dois grupos, aquelas que são diretas e as que são inversas.
Considerando essas informações e tendo em vista os conhecimentos acerca das funções circulares, analise as afirmativas a seguir:
I. Sen(x) e Log(x) são funções circulares.
II. As funções trigonométricas são circulares.
III. As funções inversas são funções circulares.
IV. x²+y² = 25 é uma função circular.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II e IV.
2. 
I, III e IV.
3. 
I e IV.
4. 
II, III e IV.
5. 
II e III.
3. Pergunta 3
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Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. Ou seja, tendo uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta constatação damos o nome de Teorema Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um coeficiente angular de uma reta tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral representa a área sob a curva do gráfico da função em um intervalo definido.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e as propriedades de derivação e integração, analise as afirmativas a seguir.
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − sen(x).
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão obtida por 9 vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem.
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x).
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II e IV.
2. 
I e III.
3. 
II e III.
4. 
I, II e III.
5. 
I e II.
4. Pergunta 4
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O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de funções. A inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da função, e a integral da função mensura a área abaixo da curva que a descreve.
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos seus conhecimentos acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual a 2.
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo gráfico de g(x).
III. ( ) h(x) é uma função.
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
F, F, V, V.
2. 
V, V, F, F.
3. 
V, F, V, V.
4. 
V, V, V, F.
5. 
V, F, V, F.
5. Pergunta 5
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O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em física, é utilizado para descrever as equações horárias de movimento, que são funções polinomiais. Essas funções polinomiais podem ser integradas e derivadas conforme o estudo de cálculo integral para, a partir daí, obter outros conhecimentos.
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à equação horária da velocidade v(t), e a integral desta é igual à equação horária do movimento S(t). Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivação, analise as afirmativas a seguir.
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é uma função do primeiro grau.
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) = cos(x).
III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que S(t) é uma função do primeiro grau.
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) = 6m/s e que a aceleração é constante e vale 2m/s².
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
III e IV.
2. 
II e IV.
3. 
I, II, III.
4. 
II, III.
5. 
I, II e IV.
6. Pergunta 6
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O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação de uma reta tangente a uma curva em um determinado ponto e qual a taxa de variação instantânea referente a ele. Somado a isso, em algumas situações é preferível que, ao se saber a derivada de uma função desconhecida, realize-se a operação inversa a ela, para se descobrir a função que a gerou, chamada função primitiva ou antiderivada.
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas e antiderivadas, analise as afirmativas a seguir.
I. Se uma função F’(x) = f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x).
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma antiderivada.
III.  é uma representação notacional de uma integral indefinida.
IV.  é uma propriedade de uma integral definida.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II, III e IV.
2. 
I e III.
3. 
I e IV.
4. 
I, III e IV.
5. 
II e III.
7. Pergunta 7
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De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e a derivada são operações contrárias. As integrais indefinidas são extremamente importantes para a determinação da função primitiva F(x), que é obtida realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, da mesma forma, derivando-se a primitiva F(x), obtemos novamente a f(x).
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais definidas, analise as afirmativas a seguir.
I. A propriedade  define uma regra para integração de polinômios.
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas para o problema de função primitiva.
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva.
IV.  é um exemplo de integral definida.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I e IV.
2. 
I, III e IV.
3. 
II, III e IV.
4. 
I, II e III.
5. 
II e III.
8. Pergunta 8
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O cálculo está muito associado com a ideia de zero e do infinito e, para lidar com esses conceitos, muitas vezes faz-se uso de instrumentos e temas sofisticados. O próprio limite é um desses conceitos referenciados, pois consegue explorar com perfeição a ideia de proximidade e, com isso, proporciona inúmeros ganhos ao conhecimento humano, assim como o conceito e instrumento matemático chamado de diferencial.
Considerando essas informações e os estudos sobre o conceito de diferencial, pode-se afirmar que ele é relevante porque:
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1. 
relaciona uma função trigonométrica com sua função inversa.
2. 
torna dispensável o uso do limite.
3. 
é pouco útil para a fundamentação do cálculo.
4. 
está relacionado com a ideia de infinitésimo.
5. 
é útil na aplicação da regra de L’Hospital.
9. Pergunta 9
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Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado dessa divisão, pois menor seria o númerode parcelas dessa divisão. No Ensino Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde aproximamos nossas funções para um ponto em que x tende a algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções apresentam indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das funções para o cálculo do limite desconhecido.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir:
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1.
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2.
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito.
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia gerar respostas incorretas.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I, II, III e IV.
2. 
II, e IV.
3. 
II, III e IV.
4. 
I, II, III.
5. 
III e IV.
10. Pergunta 10
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Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como aplicá-lo através de manipulações das expressões matemáticas pode salvar muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem sempre é prático deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções trigonométricas, de forma que este limite e a regra de L’Hospital servem como importantes ferramentas para resolver limites que recorrem em indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos passos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir.
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero.
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x).
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n.
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x).
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I, II e IV.
2. 
II, III e IV.
3. 
I, II e III.
4. 
II e III.
5. 
I e IV.