3a_Lista_Exercicios

Prévia do material em texto

Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências. 
01) 

0
7 nn x 02) 
 +
+
0
1
1n
xn
 03) 

0
!n
xn
 
04) 

+
−−
0
1
)1()1(
n
x nn
 05) 

−
−+ +−
1
1
11
7
)3()1(
n
nn xn
 06) 
 −+
−
−
1
121
)!12(
)1(
n
x nn
 
07) 
 −+
1
2
1)2(
n
x n
 08) 

+
+
1 1
)1(
nn
x n
 09) 

−
+
1
2)12(
)5(
nn
x n
 
10) 
 −
−
−
2
22
)!42(
)1(
n
x n
 11) 

+
−
0
3)1(
2)1(
n
xnnn
 12) 
( )

+
0
12.....5.3.1
.
n
xn n
 
13) 

+
−
0
)!2(
)1(
n
x n
 14) 

+
−
0 3.)1(
)1(
n
n
n
x
 15) 

+
+
0
5
5.)1(
)1(
n
n
n
x
 
16) 

−
1
)1
4
(
1 nx
n
 17) 
nx
n
)
3
2
3
(
13
1
1
+
−


 18) 
 −−
1
1)3(
n
x n
 
19) 

−
1
)()1( narctgx n 20) 

−− ++
1
23)1()55( nnn x 21) 
 −
1
/1
4)3(
n
n
n
x
 
Nos exercícios 22 a 29, use a fórmula 
x
xn
−
=

1
1
0
 , quando 1x , para obter uma série de potências que represente 
cada expressão, especificando os valores de x para os quais a representação é válida. 
22) 
41 x
x
−
 23) 
x41
1
−
 24) 
24
3
)1( x
x
−
 25) 21 x
x
−
 
26) 
x+2
1
 27) 
22
2
)1(
1
x
x
−
+
 
 
28) ln )1( x− 29) 26
1
xx −−
 
30) Usando a expansão em série de potências da função 
2)1(
1
x−
, encontre o valor de 

1 2
n
n
 . 
31) Se )
3
1
(
6
arctg=

, use a série de Maclaurin da função arctgx para mostrar que 
6)12(3
)3/1(
0

=
+
−


n
n
. 
Nos exercícios 32 a 34, encontre a série de Taylor da função f, no ponto indicado. 
32) 9,)( == axxf 33) 4,)( == aexf
x
 34) =)(xf cosx 3/, =a 
Nos exercícios 35 a 38, encontre a série de Maclaurin para cada função, indicando o intervalo de convergência da 
expansão. 
35) 
xexf −=)( 36) senxxxf =)( 37) =)(xf ln )1(
2x+ 38) 
xxf 2)( = 
 
UN IV E R S I D A D E FE D E R A L D A PA R A ÍB A 
CENTRO DE C IÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
SÉRIES E EQUAÇÕES D IFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
3a. L ISTA DE EXERCÍCIOS 
PROF. EDSON FIGUEIREDO L IMA JR . 
Nos exercícios 39 a 42, encontre a série de Maclaurin de cada função. 
39) 
2
)( xexf −= 40) 
−=
x
t dtexf
0
2
)( 41) 
x
xsen
xf =)( 42) xsenxf 2)( = 
43) Encontre uma série de potências para a função 
x
xcos1−
 e, então, calcule 
x
x
x
cos1
lim
0
−
→
. 
44) Determine uma série para 
xe 2 em potências de 1+x . 
45) Encontre o valor da derivada de ordem superior indicada. 
a) )0()15(f e )0()28(f , onde senxxxf =)( b) )0()16(f , onde =)(xf cos )(
2x 
c) )0()20(f , onde =)(xf ln )1(
2x+ d) )0()17(f , onde 
−=
x
t dtexf
0
2
)( 
□□□□□□ 
 
R E S P O S T A S 
01) 
7
1|| x 02)  )1,1− 03) ( )+− , 04) ( 2,0 05) ( )4,10− 
06) ( )+− , 07)  1,3 −− 08)  0,2− 09)  4,6 −− 10) ( )+− , 
11) 
2
1|| x 12) ( )+− , 13) ( )+− , 14) ( 4,2− 15) )51,51[ 55 +−−− 
16)  )8,0 17)  )1,5− 18) ( 4,2 19) ( )2,0 20) )
5
1
1,
5
1
1(
33
+−−− 
21) ( )4,2 
22) 

+ 
0
14 1||; xx n . 
 
 
 
23) 


0
4
1||;4 xx nn . 
24) Procure determinar uma função f , tal que 
24
3
4 )1(1
)(
x
x
x
xf
xd
d
−
=





−
 e, assim, concluir que 

− 
1
14 1||; xxn n 
25) 

+ 
0
12 1||; xx n . 26) 

+
−
0
1
2||;
2
)1( x
x
n
n
n
. 27) 

+
0
2 1||;)12( xxn n . 
28) Note que 𝑙𝑛(1 − 𝑥) = td
t
x
 −
−
0
1
1
 e, então, obtenha 

+ −
+
−
0
1 11;)
1
1
( xx
n
n
. 
29) Escreva )2)(3(6 2 xxxx −+=−− e use decomposição em frações parciais para encontrar a série de potências 
n
nn
n
x

++ 





+
−
0
11 2
1
3
)1(
5
1
. 
Quanto ao intervalo de convergência, |𝑥| < 2, que tal pensar numa interseção? 
30) Na expansão em série de potências encontrada, faça 𝒙 = 𝟏/𝟐 e conclua que 

1 2
n
n
= 2 . 
32) ...)9(
144
1
)9(
216
1
)9(
6
1
3 32 +−+−−−+= xxxx . 
33) 

−=
0
4
)4(
!
nx x
n
e
e . 
34) cosx ...)
3
(
48
1
)
3
(
12
3
)
3
(
4
1
)
3
(
2
3
2
1 432 +−+−+−−−−=

xxxx . 
35) −

x
n
x nn ,
!
)1(
0
 IR . 36) 
+
−
 +
x
n
x nn ,
!)12(
)1(
0
22
 IR . 
37) Como ln td
t
x
x
 +
=+
0
1
1
)1( , 𝑙𝑛(1 + 𝑥2) = ,
1
)1(
0
22

 +
+
−
n
x nn
 para |𝑥| < 1. 
 
38) Observando que 
𝑑𝑛(2𝑥)
𝑑𝑥𝑛
 = 2𝑥(𝑙𝑛2)𝑛, segue que 

xx
n
n
n
,
!
)2(ln
0
 IR . 
39) 

−
0
2
!
)1(
n
x nn
. 40) 
 +
+
−
0
12
!)12(
)1(
nn
x nn
. 
41) 

+
−
0
2
!)12(
)1(
n
x nn
. 
 
42) Lembrando de que 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 
1
2
 [1 − cos(2𝑥)], vemos que 𝑠𝑒𝑛2𝑥 =

−+−
1
2
121
!)2(
2)1(
n
x nnn
 . 
43) 
 +
+
−=
−
0
12
)!22(
)1(
cos1
n
x
x
x nn
 e, assim, 𝑙𝑖𝑚
𝑥 →0 x
xcos1−
= 0 . 
44) 
n
n
x x
en
e )1(
!
2
0
2
2 += 

. 
45) 
a) 0)0()15( =f e 28)0()28( −=f b) !8
!16)16( )0( =f 
c) 10
!20)20( )0( −=f d) !8
!16)17( )0( =f 
 
□□□□□□