Atividade AOL 2 - Cálculo Integral - D 20231 E

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Módulo E - 154952 . 7 - Cálculo Integral - D.20231.E 
 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para encontrar retas 
tangentes e taxas de variações. Derivar funções trigonométricas é fundamental para o 
prosseguimento dos estudos no Cálculo, já que existem diversas aplicações reais dos 
conceitos aprendidos nesta disciplina, como na modelagem de sistemas harmônicos 
simples e de correntes alternadas, por exemplo. 
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca das 
derivadas trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas 
características: 
1) f(x) = sen(x). 
2) f(x) = cos(x). 
3) f(x) = tg(x). 
4) f(x) = sec(x). 
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1). 
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x). 
( ) Sua derivada é sec²(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
1, 3, 2, 4. 
2. Incorreta: 
4, 2, 1, 3. 
3. 
4, 1, 2, 3. 
4. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
5. 
2, 1, 3, 4. 
2. Pergunta 2 
No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de uma função 
ser o domínio de outra, e a notação que temos para descrever esse tipo de funções é 
H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do curso que existe uma regra para derivar esse tipo de 
função, chamada regra da cadeia, em que derivamos f(g(x)), considerando o 
argumento g(x) constante, e multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = 
f’(g(x))*g’(x). 
Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus conhecimentos 
sobre derivadas de funções circulares, analise as afirmativas a seguir: 
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5). 
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem derivada H’(x) = 
−sen(2x)*cos(cos(2x)). 
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x). 
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e IV. 
Resposta correta 
2. 
I e III. 
3. 
II e IV 
4. 
II e III. 
5. 
II, III e IV. 
3. Pergunta 3 
As funções circulares são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser 
categorizadas entre dois grupos, aquelas que são diretas e as que são inversas. 
Considerando essas informações e tendo em vista os conhecimentos acerca das 
funções circulares, analise as afirmativas a seguir: 
I. Sen(x) e Log(x) são funções circulares. 
II. As funções trigonométricas são circulares. 
III. As funções inversas são funções circulares. 
IV. x²+y² = 25 é uma função circular. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
I e IV. 
3. 
II, III e IV. 
4. 
II e III. 
Resposta correta 
5. 
I, III e IV. 
4. Pergunta 4 
Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. 
Ou seja, tendo uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta 
constatação damos o nome de Teorema Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a 
derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um coeficiente angular de uma reta 
tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral representa a área 
sob a curva do gráfico da função em um intervalo definido. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema 
Fundamental do Cálculo e as propriedades de derivação e integração, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − 
sen(x). 
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão 
obtida por 9 vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem. 
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x). 
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e III. 
Resposta correta 
2. 
II e IV. 
3. 
II e III. 
4. 
I e II. 
5. 
I e III. 
5. Pergunta 5 
O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação de uma 
reta tangente a uma curva em um determinado ponto e qual a taxa de variação 
instantânea referente a ele. Somado a isso, em algumas situações é preferível que, ao 
se saber a derivada de uma função desconhecida, realize-se a operação inversa a ela, 
para se descobrir a função que a gerou, chamada função primitiva ou antiderivada. 
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado sobre integrais 
indefinidas e antiderivadas, analise as afirmativas a seguir. 
I. Se uma função F’(x) = f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x). 
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma antiderivada. 
III. é uma representação notacional de uma integral indefinida. 
IV. é uma propriedade de uma integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e IV. 
2. 
I e III. 
Resposta correta 
3. 
I, III e IV. 
4. 
II, III e IV. 
5. 
II e III. 
6. Pergunta 6 
A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de 
indeterminações. Com essa regra tenta-se resolver o que não é solucionável apenas 
com a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, também, inúmeras vezes, caso as 
indeterminações se mantenham, até o momento em que cessam. 
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a regra de 
L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para 
a(s) falsa(s): 
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra. 
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de 
L’Hospital. 
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
F, V, V, F. 
Resposta correta 
2. 
F, F, V, V. 
3. 
V, V, F, V. 
4. 
V, V, V, F. 
5. 
F, F, F, V. 
7. Pergunta 7 
A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para a resolução 
de inúmeros limites. Ela permite a eliminação de certos tipos de indeterminações, 
apenas derivando o numerador e o denominador de uma função que é escrita em 
forma de razão. 
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e com base nos 
seus conhecimentos acerca da regra do limite fundamental trigonométrico e da regra 
de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5. 
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2. 
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1. 
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, F, F. 
2. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
3. 
V, F, F, V. 
4. 
F, F, V, V. 
5. 
V, F, V, F. 
8. Pergunta 8 
Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos 
constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado dessa divisão, pois 
menor seria o número de parcelas dessa divisão. No Ensino Superior, nas disciplinas 
de Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde aproximamos nossas funções para 
um ponto em que x tende a algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas 
funções apresentam indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir 
dessas indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das 
funções para o cálculo do limite desconhecido. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de 
L’Hospital, analise as afirmativas a seguir: 
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1.II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2. 
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito. 
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma 
indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia gerar 
respostas incorretas. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II, III. 
2. 
I, II, III e IV. 
3. 
III e IV. 
4. 
II, e IV. 
5. 
II, III e IV. 
Resposta correta 
9. Pergunta 9 
A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites específicos. Ela 
auxilia no entendimento de algumas funções e na eliminação de inconsistências, que 
ocorrem em casos onde, ao substituir os valores de x de uma função pelo valor ao qual 
x tende no cálculo do limite, encontramos expressões da forma 0/0, por exemplo. 
Considerando essas informações e os estudos acerca da definição da regra de 
L’Hospital e suas propriedades, analise as afirmações a seguir: 
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a indeterminação 0/0 ou 
infinito/infinito ainda estiver valendo. 
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as resolve. 
III. A regra é aplicada por um processo de derivação. 
IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
III e IV. 
2. 
I, II e IV. 
3. 
I, II e III. 
Resposta correta 
4. 
I e II. 
5. 
II e III. 
10. Pergunta 10 
Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de cálculo 
integral, já que este valor possui um significado prático para análise da curva do 
gráfico de uma determinada função que indica uma taxa de variação instantânea. Isso 
pode significar encontrar uma taxa de variação referente a outra função ou algo 
similar, o que implica na possibilidade de se aplicar a operação reversa à derivada. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral indefinida, 
pode-se afirmar que aplicar a operação inversa à derivada é relevante porque: 
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1. 
tem uma interpretação geométrica diferente da derivada. 
2. 
vale para qualquer tipo de função e intervalo. 
3. 
elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha. 
4. 
passa a ser possível derivar outros tipos de funções. 
5. 
permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou seja, a 
função que a gerou. 
Resposta correta