Resolva a integral definida: dx / ((3x + 6x^2 + 2)/(x^2 + 3x + 2)) entre 1 e 2.

Primeiramente, é necessário simplificar a expressão dentro da integral: dx / ((3x + 6x^2 + 2)/(x^2 + 3x + 2)) = dx * (x^2 + 3x + 2)/(3x + 6x^2 + 2) Em seguida, é possível fazer a decomposição em frações parciais: x^2 + 3x + 2 = A/(x+1) + B/(x+2) Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2), temos: x^2 + 3x + 2 = A(x+2) + B(x+1) Substituindo x = -2, obtemos A = -1. Substituindo x = -1, obtemos B = 2. Portanto: x^2 + 3x + 2 = -1/(x+1) + 2/(x+2) Substituindo na integral, temos: ∫ dx / ((3x + 6x^2 + 2)/(x^2 + 3x + 2)) = ∫ dx * (-1/(x+1) + 2/(x+2)) Integrando, temos: ∫ dx * (-1/(x+1) + 2/(x+2)) = -ln|x+1| + 2ln|x+2| + C Substituindo os limites de integração, temos: - ln|2+1| + 2ln|2+2| - (-ln|1+1| + 2ln|1+2|) = ln(4/27) Portanto, a solução da integral definida é ln(4/27).