AD2-Q3-2023-2-Gabarito

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Gabarito da Questão 3 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2023-2
Questão 3 (2,5 pontos) Esboce a região do plano cartesiano formada pelos pontos (x, y) que
satisfazem simultaneamente as desigualdades abaixo:
x2 + y2 + 2x− 8y − 8 ≤ 0
x ≤ 1
y > 1
y ≤ 8
Não se esqueça de detalhar bem os contornos da região, especificando os pontos e dizendo se cada
parte deste contorno pertence ou não à região. Apresente todos os cálculos e justificativas
necessários.
Solução: A desigualdade
x2 + y2 + 2x− 8y − 8 ≤ 0
pode ser reescrita como
x2 + 2x+ y2 − 8y − 8 ≤ 0 ⇔ x2 + 2 · x · 1+1− 1 + y2 − 2 · 4 · y+16− 16− 8 ≤ 0
⇔ (x+ 1)2 + (y2 − 4)2 − 1− 16− 8 ≤ 0
⇔ (x+ 1)2 + (y2 − 4)2 ≤ 25,
que representa os pontos sobre e no interior do ćırculo de centro (−1, 4) e raio 5.
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A desigualdade x ≤ 1 representa os pontos sobre a reta x = 1 e à esquerda dela.
A desigualdade y > 1 representa os pontos acima da reta y = 1, sem incluir os pontos da reta.
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A desigualdade y ≤ 8 representa os pontos sobre a reta y = 8 e abaixo dela.
Assim, o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem as quatro desigualdades simultaneamente é dado
por
A interseção entre as retas x = 1 e y = 1 é o ponto (1, 1), que não pertence à solução pois a reta
y = 1 não está contida nela. A interseção entre a reta y = 1 e o ćırculo x2 + y2 + 2x− 8y − 8 = 0
pode ser obtida resolvendo
x2 + 12 + 2x− 8 · 1− 8 = 0 ⇔ x2 + 2x− 15 = 0
⇔ x = −5 ou x = 3.
Logo, temos os pontos (−5, 1) e (3, 1). O ponto representado na interseção acima é o (−5, 1).
A interseção entre as retas x = 1 e y = 8 é o ponto (1, 8), que pertence à solução pois as retas x = 1
e y = 8 estão contidas nela. A interseção entre a reta y = 5 e o ćırculo x2 + y2 + 2x− 8y − 8 = 0
pode ser obtida resolvendo
x2 + 82 + 2x− 8 · 8− 8 = 0 ⇔ x2 + 2x− 8 = 0
⇔ x = −4 ou x = 2.
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Logo, temos os pontos (−4, 8) e (2, 8). O ponto representado na interseção acima é o (−4, 8).
Marcando todos estes pontos, temos
Deixando só aqueles que estão na fronteira da região, temos
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