PC_2017-1_AD2-Q3_GABARITO

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AD2 – Q3 – 2017-1 GABARITO Pré-Cálculo 
 
CEDERJ 
GABARITO da Questão 3 da Avaliação a Distância 2 
Pré-Cálculo 
 
Questão 1 [3,5 pontos] 
(a) Considere as funções 𝑓1(𝑥) = 𝑥
7
4 e 𝑓2(𝑥) = 𝑥
4
7 
(I) Para cada função 𝑓1 e 𝑓2, represente a função em forma de raiz índice 𝑛 e dê o seu domínio. 
(II) Considere o intervalo 𝐼1 = (0,∞) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑓1). 
Considerando as propriedades estudadas de função potência de expoente racional, descreva o 
crescimento da função 𝑓1 no intervalo 𝐼1 e descreva a concavidade de seu gráfico no mesmo 
intervalo. 
Esboce o gráfico de 𝑓1 apenas no intervalo 𝐼1. Esboce no mesmo sistema de coordenadas a reta de 
equação 𝑦 = 𝑥. 
(III) Considere o intervalo 𝐼2 = (0,∞) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑓2). 
Considerando as propriedades estudadas de função potência de expoente racional, descreva o 
crescimento da função 𝑓2 no intervalo 𝐼2 e descreva a concavidade de seu gráfico no mesmo 
intervalo. 
Esboce o gráfico de 𝑓2 apenas no intervalo 𝐼2. Esboce no mesmo sistema de coordenadas a reta de 
equação 𝑦 = 𝑥. 
(IV) Responda se cada função 𝑓1 e 𝑓2 é PAR, ÍMPAR ou nenhuma delas. Justifique sua resposta usando as 
duas condições da definição de função par e/ou de função ímpar. 
Esboce o gráfico completo de cada função 𝑓1 e 𝑓2 , isto é, em todos os pontos do domínio. 
RESOLUÇÃO 
(I) 𝑓1(𝑥) = 𝑥
7
4 = √𝑥7
4
. 
Como o índice da raiz é par, o radicando 𝑥7 ≥ 0. E, 𝑥7 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 0. Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓1) = [0,∞). 
𝑓2(𝑥) = 𝑥
4
7 = √𝑥4
7
. 
Como o índice da raiz é ímpar, não há restrição para o radicando 𝑥4, que pode ser qualquer real. E também não 
há restrição para a base 𝑥, que pode ser qualquer real. Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓2) = (−∞,∞). 
 
(II) 𝐼1 = (0,∞) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑓1) = (0,∞) ∩ [0,∞) = (0,∞). 
Como o expoente 
7
4
> 0 𝑒 
7
4
> 1, a função 𝑓1 é crescente no intervalo 
(0,∞) e seu gráfico tem concavidade para cima no mesmo intervalo. 
Observamos que no intervalo (0,∞), o gráfico de 𝑓1 tem o mesmo tipo de 
comportamento da parábola 𝑦 = 𝑥2. 
Ao lado está esboçado o gráfico da função 𝑓1 no intervalo (0,∞). 
Observamos que o gráfico corta a reta de equação 𝑦 = 𝑥 no ponto de 
abscissa 𝑥 = 1. 
 
 
AD2 – Q3 – 2017-1 GABARITO Pré-Cálculo 
 
(III) 𝐼2 = (0,∞) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑓2) = (0,∞) ∩ (−∞,∞) = (0,∞). 
Como o expoente 0 <
4
7
< 1, a função 𝑓2 é crescente no intervalo (0,∞) e seu 
gráfico tem concavidade para baixo no mesmo intervalo. Observamos que no 
intervalo (0,∞), o gráfico de 𝑓2 tem o mesmo tipo de comportamento do 
gráfico da função 𝑦 = √𝑥. 
Ao lado está esboçado o gráfico da função 𝑓2 no intervalo (0,∞). Observamos 
que o gráfico corta a reta de equação 𝑦 = 𝑥 no ponto de abscissa 𝑥 = 1. 
 
(IV) Verificando a 1ª. Condição da definição de função PAR e de função ÍMPAR: 
Seja 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓1) = [0,∞) e 𝑥 > 0, temos que −𝑥 < 0 e −𝑥 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓1), ou 
seja, o domínio da função 𝑓1 não é simétrico em relação à origem da reta 
numérica. Logo, a função 𝑓1 não satisfaz a 1ª. condição da definição de função 
PAR e de função ÍMPAR, portanto a função 𝒇𝟏 não é PAR nem ÍMPAR. 
O gráfico de 𝑓1 está esboçado ao lado, observamos que contém o ponto (0,0). 
 
 
Se 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓2) = (−∞,∞), então − 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓2) = (−∞,∞), ou seja, o domínio da função 𝑓2 é simétrico em 
relação à origem da reta numérica. Logo, a função 𝑓2 satisfaz a 1ª. condição da definição de função PAR e de 
função ÍMPAR. 
Agora, para a função 𝑓2, podemos verificar a 2ª. Condição da 
definição de função PAR e de função ÍMPAR: 
𝑓2(−𝑥) = (−𝑥)
4
7 = √(−𝑥)4
7
= √𝑥4
7
= 𝑥
4
7 = 𝑓(𝑥). Logo, a função 𝑓2 
satisfaz a 2ª. condição da definição de função PAR. Portanto, a função 
𝒇𝟐 é PAR. 
Como a função 𝑓2 é PAR, o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo 𝑦. 
 
(b) Considere as funções: 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥
2
 ℎ(𝑥) = 𝑒8𝑥+9. 
Determine a abcissa e a ordenada dos seguintes pontos: 
(I) Interseções do gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) com o gráfico da reta de equação 𝑦 = 2. 
(II) Interseções do gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) com o gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥). 
RESOLUÇÃO 
(I) 𝑒𝑥
2
= 2 ⟺ ln(𝑒𝑥
2
) = ln 2 ⟺ 𝑥2 = ln 2 ⟺ 𝑥 = ±√ln2. 
Logo, são dois pontos de interseção. As abscissas dos pontos são: 𝑥1 = √ln 2 e 𝑥2 = −√ln2 
E as ordenadas são iguais, 𝑦1 = 𝑦2 = 2. Portanto, os pontos são: (√ln 2 , 2) e (−√ln 2 , 2). 
 
(II) 𝑒𝑥
2
= 𝑒8𝑥+9 ⟺ 𝑥2 = 8𝑥 + 9 ⟺ 𝑥2 − 8𝑥 − 9 = 0 ⟺ 𝑥 =
8±√(−8)2−4(1)(−9)
2
 ⟺ 
𝑥 =
8±√64+36
2
 ⟺ 𝑥 =
8±10
2
 ⟺ 𝑥 =
8+10
2
=
18
2
= 9 𝑜𝑢 𝑥 =
8−10
2
= −
2
2
= −1. 
Logo, são dois pontos de interseção e as abscissas dos pontos são: 𝑥1 = −1 e 𝑥2 = 9. 
AD2 – Q3 – 2017-1 GABARITO Pré-Cálculo 
 
A ordenada do ponto de abscissa 𝑥1 = −1 é: 𝑦1 = 𝑔(−1) = ℎ(−1) = 𝑒
1 = 𝑒, pois 𝑔(−1) = 𝑒(−1)
2
= 𝑒1 =
𝑒 e ℎ(−1) = 𝑒8(−1)+9 = 𝑒1 = 𝑒. 
A ordenada do ponto de abscissa 𝑥2 = 9 é: 𝑦2 = 𝑔(9) = ℎ(9) = 𝑒
81, pois 𝑔(−1) = 𝑒(9)
2
= 𝑒81 e 
ℎ(9) = 𝑒8(9)+9 = 𝑒81 
Portanto, os pontos são: (−1, 𝑒) e (9, 𝑒81). 
 
(c) Para a função 𝑓(𝑥) = 2 ln(𝑥) − ln(5 − 𝑥), faça o que se pede em cada item: 
(I) Determine o seu domínio. 
(II) Use propriedades de logaritmo para simplificar a expressão da função 𝑓(𝑥) e resolva a equação. 
2 ln(𝑥) − ln(5 − 𝑥) = ln(16). 
RESOLUÇÃO 
(I) Como o domínio da função logaritmo neperiano é o intervalo (0,∞), as restrições da função 𝑓 são: 
𝑥 > 0 e 5 − 𝑥 > 0. Resolvendo a segunda restrição, 5 − 𝑥 > 0 ⟺ 5 > 𝑥 ⟺ 𝑥 < 5. 
Considerando as duas restrições, temos que 0 < 𝑥 < 5. Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (0, 5) 
 
(II) Vamos aplicar as propriedades: 
▪ para todo 𝑎 > 0 𝑒 𝑏 > 0 , ln 𝑎𝑘 = 𝑘 ln𝑎 e ln
𝑎
𝑏
= ln𝑎 − ln 𝑏 . 
Logo, para todo 𝑥 > 0 e 5 − 𝑥 > 0, temos que: 
2 ln(𝑥) − ln(5 − 𝑥) = ⏞ 
ln(𝑥2)=2 ln𝑥
 ln(𝑥2) − ln(5 − 𝑥) = ⏞ 
𝑎=𝑥2 𝑒 𝑏=5−𝑥
 ln (
𝑥2
5−𝑥
). Usando essa simplificação, 
temos que 2 ln(𝑥) − ln(5 − 𝑥) = 16 ⟺ ln (
𝑥2
5−𝑥
) = ln(16) ⟺ 
𝑥2
5−𝑥
= 16, 0 < 𝑥 < 5. 
Resolvendo a equação 
𝑥2
5−𝑥
= 16 , 
𝑥2
5−𝑥
= 16 ⟺ 𝑥2 = 80 − 16𝑥 , 𝑥 ≠ 5 ⟺ 𝑥2 + 16𝑥 − 80 = 0 , 𝑥 ≠ 5 ⟺ 𝑥 = 4 𝑜𝑢 𝑥 = −20. 
Como −20 ∉ (0, 5) e 4 ∈ (0, 5) , então a única solução é 𝑥 = 4.