PC_2017-2_AP2_GABARITO

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AP2 – 2017-2 – Gabarito Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 2 
Pré-Cálculo 
 
 
Questão 1 [0,6 pt] Resolva 2 sen(𝑥) = −1 para 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. 
RESOLUÇÃO: 
2 sen(𝑥) = −1 ⟺ sen(𝑥) = −
1
2
. 
Observando as simetrias no círculo trigonométrico ao lado, vemos: 
uma solução é 𝜃1 = 𝜋 +
𝜋
6
 ⟹ 𝜃1 =
7𝜋
6
 
outra solução é 𝜃2 = 2𝜋 −
𝜋
6
 ⟹ 𝜃2 =
11𝜋
6
 
Portanto a solução da equação é: 𝑆 = {
7𝜋
6
,
11𝜋
6
}. 
 
Questão 2 [0,8 pt] Resolva −1 ≤ 2 sen(𝑥) ≤ 0 para 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. 
Observação: se quiser, pode usar o resultado da questão 1. 
RESOLUÇÃO: 
−1 ≤ 2 sen(𝑥) ≤ 0 ⟺ −
1
2
≤
2
2
sen(𝑥) ≤
0
2
 ⟺ −
1
2
≤ sen(𝑥) ≤ 0. 
sen 𝑥 = 0 se e só se 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 𝜋 ou 𝑥 = 2𝜋. 
Observando no círculo trigonométrico ao lado, vemos que 
quando um arco do círculo aumenta de 𝜋 para 
7𝜋
6
, a projeção do 
arco no eixo vertical diminui do valor 0 até o valor −
1
2
, logo uma 
solução é o intervalo 𝐼1 = [𝜋,
7𝜋
6
]. 
E, observando no círculo trigonométrico ao lado, vemos que 
quando um arco do círculo aumenta de 
11𝜋
6
 para 2𝜋, a projeção 
do arco vertical aumenta do valor −
1
2
 até o valor 0, logo outra solução é o intervalo 
𝐼2 = [
11𝜋
6
, 2𝜋]. 
Portanto a solução da inequação é: 𝑆 = {0} ∪ [𝜋,
7𝜋
6
] ∪ [
11𝜋
6
, 2𝜋]. 
 
 
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Questão 3 [1,2 pt] A equação tan2(𝑦) = 3 , 𝑦 ∈ ℝ, possui uma infinidade de soluções, 
que dependem de 𝑘 ∈ ℤ. 
Encontre todas as soluções da equação. Dentre essas soluções, apresente duas soluções 
particulares, uma positiva e uma negativa. 
RESOLUÇÃO: 
Uma maneira de resolver: 
tan2(𝑦) = 3 ⟺ tan 𝑦 = √3 ou tan 𝑦 = −√3. 
Observando os segmentos representantes da tangente no círculo 
trigonométrico ao lado, 
tan 𝑦 = √3 ⟺ 𝑦 =
𝜋
3
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
tan 𝑦 = −√3 ⟺ 𝑦 = −
𝜋
3
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
Logo todas as soluções podem ser representadas por 
𝑆 = {𝑦 =
𝜋
3
+ 𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑦 = −
𝜋
3
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} 
Duas soluções particulares são: 𝑦1 =
𝜋
3
, 𝑦2 = −
𝜋
3
. 
Outra maneira de resolver: 
tan2(𝑦) = 3 
tan(𝑦)=
sen(𝑦)
cos(𝑦)
⇔ 
sen2(𝑦)
cos2(𝑦)
= 3 ⟺ sen2(𝑦) = 3 cos2(𝑦) 
cos2(𝑦)=1−sen2(𝑦)
⇔ 
sen2(𝑦) = 3 − 3 sen2(𝑦) ⟺ 4sen2(𝑦) = 3 ⟺ sen2(𝑦) =
3
4
 ⟺ sen(𝑦) =
√3
2
 ou sen(𝑦) = −
√3
2
. 
Observando as simetrias do círculo trigonométrico ao lado, 
sen(𝑦) =
√3
2
 ⟺ 𝑦 =
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑦 =
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ. 
sen(𝑦) = −
√3
2
 ⟺ 𝑦 =
4𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑦 =
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ. 
 
Logo todas as soluções podem ser representadas por 
𝑆 = {𝑦 =
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑦 =
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 
4𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑦 =
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. 
Observando as congruências e as simetrias no círculo trigonométrico, uma forma equivalente de 
representar a solução é: 
𝑆 = {𝑦 =
𝜋
3
+ 𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑦 = −
𝜋
3
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. 
Duas soluções particulares são: 𝑦1 =
𝜋
3
, 𝑦2 = −
𝜋
3
. 
 
 
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Nas questões (4) e (5) considere a função ℎ(𝑥) = 3arcsen (
2𝑥−1
6
). 
Questão 4 [1,3 pt] 
Determine o domínio da função 𝑦 = ℎ(𝑥) . Calcule, ℎ (
7
2
). Mostre os cálculos. Dê as devidas 
justificativas. 
RESOLUÇÃO: 
Temos que impor a restrição: 
 −1 ≤
2𝑥−1
6
≤ 1 , pois o domínio da função arco seno é [−1, 1]. Segue que, 
−1 ≤
2𝑥−1
6
≤ 1 
 × 6 
⇔ −6 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 6 
 +1 
⇔ −5 ≤ 2𝑥 ≤ 7 
 ÷2 
⇔ −
5
2
≤ 𝑥 ≤
7
2
 . 
Então 𝑫𝒐𝒎 (𝒉) = {𝑥 ∈ ℝ: −
5
2
≤ 𝑥 ≤
7
2
 } = [−
5
2
 ,
7
2
]. 
Calculando ℎ (
7
2
). 
ℎ (
7
2
) = 3arcsen (
2(
7
2
)−1
6
) = 3 arcsen (
6
6
 ) = 3arcsen(1) = 3
𝜋
2
 , pois sen (
𝜋
2
) = 1 e 
𝜋
2
 ∈
 [−
𝜋
2
 ,
𝜋
2
] , intervalo de inversão da função seno. Logo, ℎ (
7
2
) = 
3𝜋
2
. 
 
Questão 5 [0,7 pt] 
Resolva a equação ℎ(𝑥) =
𝜋
2
. Mostre os cálculos. Dê as devidas justificativas. 
RESOLUÇÃO: 
ℎ(𝑥) = 3arcsen (
2𝑥 − 1
6
) =
𝜋
2
 ⟺ arcsen (
2𝑥 − 1
6
) = 
𝜋
6
 ⟺ 
2𝑥−1
6
= sen (
𝜋
6
) ⟺ 
2𝑥−1
6
 = 
1
2
 
 ×6 
⇔ 2𝑥 − 1 = 3 ⟺ 2𝑥 = 4 
 ÷2 
⇔ 𝑥 = 2 . 
O conjunto solução é 𝑆 = { 2 }. 
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Nas questões 6 a 8 considere as funções: 𝑓1(𝑥) = 𝑥
−4 e 𝑓2(𝑥) = 𝑥
1
5. 
Questão 6 [0,4 pt] Determine, justificando, o domínio de cada função. 
RESOLUÇÃO: 
• 𝑓1(𝑥) = 𝑥
−4 =
1
𝑥4
, logo, 𝑥4 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 0. Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓1) = (−∞, 0) ∪ (0,∞). 
• 𝑓2(𝑥) = 𝑥
1
5 = √𝑥
5
, como o índice da raiz é ímpar, não há restrição para o radicando. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓2) = (−∞,∞). 
 
Questão 7 [0,6 pt] Responda se cada função é PAR, ÍMPAR OU NEM PAR, NEM ÍMPAR. 
Para justificar suas respostas, verifique as duas condições da definição de função PAR e/ou ÍMPAR. 
Na segunda condição, considere qualquer 𝑥 do domínio da função, não basta verificar em um ou 
dois valores numéricos do domínio. 
RESOLUÇÃO: 
• Para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓1) temos que −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓1), ou seja, o domínio de 𝑓1 é simétrico em 
relação à origem da reta numérica, portanto a primeira condição de função par é satisfeita. 
𝑓1(−𝑥) = (−𝑥)
−4 =
1
(−𝑥)4
=
1
𝑥4
= 𝑥−4 = 𝑓1(𝑥), assim, para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓1), 𝑓1(−𝑥) = 𝑓1(𝑥), 
portanto a segunda condição de função par é satisfeita. 
Concluímos que a função 𝑓1(𝑥) = 𝑥
−4 é PAR. 
• Para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓2) temos que −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓2), ou seja, o domínio de 𝑓2 é simétrico em 
relação à origem da reta numérica, portanto a primeira condição de função ímpar é satisfeita. 
𝑓2(−𝑥) = (−𝑥)
1
5 = √−𝑥
5
= −√𝑥
5
= −𝑓2(𝑥), assim, para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓2), 𝑓2(−𝑥) = −𝑓2(𝑥), 
portanto a segunda condição de função ímpar é satisfeita. 
Concluímos que a função 𝑓2(𝑥) = 𝑥
1
5 é ÍMPAR. 
 
Questão 8 [1,2 pt] Esboce o gráfico de cada função, explicite as propriedades de crescimento, 
concavidade e simetria para justificar a construção de cada gráfico. 
RESOLUÇÃO 
Como a função 𝑓1(𝑥) = 𝑥
−4 tem expoente negativo, a função 𝑓1 é 
decrescente no intervalo (0,∞) do domínio e seu gráfico tem 
concavidade para cima no intervalo (0,∞) do domínio. 
Como a função 𝑓1(𝑥) = 𝑥
−4 é PAR, o seu gráfico é simétrico em 
relação ao eixo 𝑦. 
Como a função 𝑓2(𝑥) = 𝑥
1
5 = √𝑥
5
 tem expoente positivo, a 
função 𝑓2 é crescente no intervalo (0,∞). Como o expoente 
está entre 0 e 1, seu gráfico tem concavidade para baixo no 
intervalo (0,∞) do domínio. 
Como a função 𝑓2(𝑥) = 𝑥
1
5 é ÍMPAR, o seu gráfico é simétrico 
em relação à origem (0,0). 
 
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Nas questões (9) a (11) Considere a função 
 𝑔(𝑥) = ln(2𝑥2 + 𝑥 ) e o seu gráfico (FIGURA ao lado). 
 
 
 
 
 
 
 
 FIGURA 
Questão (9) [1,0 pt] 
Determine o domínio da função 𝑔 . Mostre os cálculos com as devidas justificativas. Ao encontrar 
o domínio, responda qual é o valor de 𝑎 indicado na FIGURA acima. 
RESOLUÇÃO: 
Determinando o domínio de 𝑔(𝑥) = ln(2𝑥2 + 𝑥 ) . É preciso impor a seguinte restrição: 2𝑥2 +
𝑥 > 0 . 
Temos que: 
2𝑥2 + 𝑥 > 0 ⟺ 𝑥( 2𝑥 + 1) > 0 Resolvendo a equação 𝑥( 2𝑥 + 1) = 0. 
 𝑥( 2𝑥 + 1) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 2𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = −
1
2
 . 
Portanto, 𝑥( 2𝑥 + 1) > 0 ⟺ 𝑥 < −
1
2
 𝑜𝑢 𝑥 > 0 
Concluímos que 
𝑫𝒐𝒎 (𝒈) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < −
1
2
 𝑜𝑢 𝑥 > 0 } = (−∞, −
1
2
) ∪ (0 , +∞) 
A partir do domínio e observando o gráfico dado, concluímos que 𝑎 = −
1
2
 . 
 
_________________________________________________________________________________ 
Questão (10) [1,0 pt] 
Resolva a equação 𝑔(𝑥) = ln(2𝑥2 + 𝑥 ) = 0 para encontrar os pontos de interseção da função 
 𝑔 com o eixo 𝑥. Mostre os cálculos com as devidas justificativas. Agora você pode responder 
quais são os valores 𝑏 e 𝑐 , indicados na FIGURA 
RESOLUÇÃO: 
Resolvendo a equação 𝑔(𝑥) = ln(2𝑥2 + 𝑥 ) = 0 
ln(2𝑥2 + 𝑥 ) = 0 ⟺ 2𝑥2 + 𝑥 = 1 ⟺ 2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 
 𝑥 =
−1±√12−4∙2∙(−1)
2∙2
=
−1±√9
4
= 
−1±3
4
 ⇒ 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 =
1
2
 . Logo, a função 
 𝑔(𝑥) = ln(2𝑥2 + 𝑥 ) = 0 corta o eixo 𝑥 nos pontos (−1 ,0) 𝑒 (
1
2
 ,0) . 
Portanto, 𝑏 = −1 𝑒 𝑐 =
1
2
 . 
_________________________________________________________________________________ 
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Questão (11) [1,2 pt] 
Esboce o gráfico da função 𝑟(𝑥) = |𝑔(−𝑥)| e identifique as abscissas dos pontos em que o 
gráfico da função 𝑟 corta os eixos coordenados, quando for possível. Não é preciso fazer contas 
para isso! 
Explique a construção do gráfico da função 𝑟 descrevendo em palavras as transformações 
(translação ou reflexão ou....) no gráfico da função 𝑔(𝑥) = ln(2𝑥2 + 𝑥 ). 
RESOLUÇÃO: 
𝑔(𝑥) = ln(2𝑥2 + 𝑥 ) 
 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 
 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
 
⇒ 𝑔(−𝑥) = ln (2(−𝑥)2 − 𝑥) 
 
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜: 
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥≥0 𝑒 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑢𝑗𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑚 𝑥<0 
⇒ 𝑟(𝑥) = |𝑔(−𝑥)| 
Para ilustrar, vamos esboçar os gráficos auxiliares também. 
 
 
 
 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 
 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
 
⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜: 
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥≥0 𝑒 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑢𝑗𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑚 𝑥<0 
⇒