06 - Teoremas sobre Limites de Funções

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Teoremas sobre Limites de
Funções
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Na aula anterior, vimos os conceitos básicos de limite. Agora sabemos que o limite
serve para estudar regiões bem pequenas de uma função matemática que pode ou
não representar um fenômeno da vida real. À medida que o curso for andando, você
começará a perceber a utilidade deste tipo de estudo. Por enquanto, vamos focar no
aprendizado da ferramenta antes de sair por aí a utilizando indiscriminadamente.
Nesta aula, estudaremos os teoremas dos limites. Vou fazer uma comparação aqui
para entendermos do que se trata. Da mesma forma que as operações básicas
(adição, subtração, multiplicação e divisão) possuem algumas regras de
manipulação, os limites também possuem. Nesta aula, apresentaremos as regras a
respeito dos limites. Não iremos aqui fazer uma formalização extensa a respeito de
cada teorema, mas sim, algumas veri�cações básicas. As provas dos teoremas são
utilizar o conceito de delta e épsilon( ẟ, ε) apresentado na aula passada. Para quem
quiser se aprofundar nas demonstrações basta ir às referências e olhar os livros
indicados.
Teoremas
Vamos começar com aqueles que já utilizamos sem ao menos saber de sua
existência. Sempre trabalharemos aqui com o conjunto dos números reais.
Se m e b forem constantes quaisquer. Este teorema diz que pode fazer a
substituição de “a” na equação para acharmos o limite.    
Nós o utilizamos na expressão abaixo. A resposta dá 21 porque quando x se aproxima
de 10, o valor do limite tende ao número 21 pela simples substituição,
Se c for uma constante, então para qualquer número a, o limite de c tendendo
a “a” será igual a “c”:
lim
x→a
mx + b = ma + b
lim
x→10
2x + 1 = 21
lim
x→10
23 = 23
A função, neste caso, não depende de x, portanto, é uma reta horizontal sem
variações. Assim, a resposta para qualquer aproximação sempre será igual ao valor
da constante.
Se e o limite da soma também será verdadeiro.
Vamos utilizar os exemplos acima.
Se , , …, o limite da soma também
será válido para in�nitos limites com x tendendo a “a”.
Crie mais um ou dois limites no mesmo padrão e some aos anteriores. Você vai ver
que tanto faz realizar a soma das respostas ou a soma das funções.
Se e então, o produto de L vezes M será igual ao
produto de f(x) vezes g(x).
A mesma coisa serve para a multiplicação de vários limites.
Se e n for um número inteiro positivo qualquer, então
lim
x→a
f (x) = L lim
x→a
g (x) = M
lim
x→a
[f (x) + g (x)] = L ± M
lim
x→10
23 = 23 + lim
x→10
2x + 1 = 21 = 44
lim
x→10
2x + 1 + 23 = 44
lim
x→a
f1 (x) = L1 lim
x→a
f2 (x) = L2 lim
x→a
fn (x) = Ln
lim
x→a
[f1 (x) ± f2 (x) ± f3 (x) . . . ±fn (x)] = L1 ± L2 ± L3±. . . ±Ln
lim
x→a
f (x) = L lim
x→a
g (x) = M
lim
x→10
23 = 23x lim
x→10
2x + 1 = 21 = 483
lim
x→10
(2x + 1)23 = 483
lim
x→a
[f1 (x) f2 (x) f3 (x) . . . fn (x)] = L1L2L3. . . Ln
lim
x→a
f (x) = L
lim
x→a
[f (x)]n = Ln
lim
x→10
23 = 23
232 = 529
lim
x→10
232 = 529
Se e a divisão entre os resultados é igual ao limite
da divisão.
Lembrando que o denominador não pode ser zero. Neste caso acima, M pode ser
qualquer número menos zero.
Se n for um número inteiro positivo e poderemos aplicar a raiz
tanto na função como na resposta. Com a restrição de que se “n” for par, L>0.
Fazendo n = 3
Se se e somente se 
Vamos testar este teorema.
Portanto, o teorema se aplicou ao nosso exemplo.
lim
x→a
f (x) = L lim
x→a
g (x) = M
lim
x→a
[ ] =
f (x)
g (x)
L
M
lim
x→10
[ ] =2x + 1
23
21
23
lim
x→a
f (x) = L
lim
x→10
n√2x + 1 = n√21
lim
x→10
3√2x + 1 = 3√21 = 2, 758924
lim
x→a
f (x) = L lim
x→a
f (x) − L = 0
lim
x→10
2x + 1 = 21
lim
x→10
2x + 1 − 21 = 0
Exercícios
Usar os teoremas acima para calcular os limites abaixo.
a) 
Para este limite, basta substituir o valor da tendência na função
3.5 – 8 = 7
Portanto, 
lim
x→5
3x − 8
lim
x→5
3x − 8 = 7
b) 
Usando os teoremas acima, devemos dividir este limite em outros.
c) 
Para este limite separaremos a função do numerador e do denominador.          
lim
x→2
x2 + x − 1
lim
x→2
x2 + lim x
x→2
+ lim
x→2
(−1)
[lim x
x→2
× lim
x→2
x] + 2 + (−1)
2 × 2 + 2 + (−1) = 5
lim
x→3
[ ]4x−5
5x−1
= = 0, 5
lim
x→3
4x − 5
lim
x→3
5x − 1
7
14
CONECTE-SE
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito dos
teoremas.
https://go.eadstock.com.br/bl8
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NA PRÁTICA
Saber operar com limites é tão importante quanto saber as operações
básicas com os números reais. Quando em física estudar o
comportamento de qualquer problema utilizando o cálculo diferencial,
será necessário saber quais as regras a serem utilizadas.