matematica financeira AI

Prévia do material em texto

18. **Problema:** Qual é o valor da integral \(\int_0^1 \frac{1}{1 - x^2} \, dx\)? 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \sin \theta\) e resolva a integral resultante. 
 
19. **Problema:** Determine a matriz inversa de \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{bmatrix} \). 
 **Resposta:** \(\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}\). 
 **Explicação:** Use a fórmula da matriz inversa \(\frac{1}{\text{det}} \begin{bmatrix} d & -b 
\\ -c & a \end{bmatrix}\). 
 
20. **Problema:** Qual é a soma dos ângulos internos de um octógono? 
 **Resposta:** 1080 graus. 
 **Explicação:** Use a fórmula \(180(n - 2)\) para um polígono com \(n\) lados. 
 
21. **Problema:** Resolva a integral \(\int x e^x \, dx\). 
 **Resposta:** \(x e^x - e^x + C\). 
 **Explicação:** Use a integração por partes, escolhendo \(u = x\) e \(dv = e^x dx\). 
 
22. **Problema:** Qual é o produto das raízes da equação \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\)? 
 **Resposta:** 6. 
 **Explicação:** Use a propriedade das raízes do polinômio cúbico, onde o produto das 
raízes é igual ao termo constante. 
 
23. **Problema:** Determine a soma dos primeiros 10 termos da sequência aritmética \(2, 5, 
8, 11, \ldots\). 
 **Resposta:** 275. 
 **Explicação:** Use a fórmula da soma de uma progressão aritmética \(S_n = \frac{n}{2} [2a 
+ (n-1)d]\). 
 
24. **Problema:** Encontre a raiz da equação \(x^2 + 4x + 4 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = -2\). 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x + 2)^2 = 0\). 
 
25. **Problema:** Determine a área de um círculo com raio 5. 
 **Resposta:** \(25\pi\). 
 **Explicação:** Use a fórmula da área do círculo \(A = \pi r^2\). 
 
26. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \) para \(x\) e \(y\) 
positivos. 
 **Resposta:** \(x = y = 2\). 
 **Explicação:** Multiplique ambos os lados por \(xy\) e resolva a equação resultante. 
 
27. **Problema:** Determine o volume de um cubo com aresta 4. 
 **Resposta:** 64. 
 **Explicação:** Use a fórmula do volume do cubo \(V = a^3\). 
 
28. **Problema:** Qual é a soma dos ângulos internos de um triângulo? 
 **Resposta:** 180 graus. 
 **Explicação:** Esta é uma propriedade fundamental dos triângulos. 
 
29. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{dx}{x^2 + 4}\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \frac{x}{2}\) e a fórmula da integral de 
\(\frac{1}{u^2 + a^2}\). 
 
30. **Problema:** Determine a solução para a equação \(x^2 - 2x - 3 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = 3, -1\). 
 **Explicação:** Fatorize a equação quadrática ou use a fórmula quadrática para encontrar 
as raízes. 
 
31. **Problema:** Qual é o valor da soma \(\sum_{k=1}^{n} k\)? 
 **Resposta:** \(\frac{n(n + 1)}{2}\). 
 **Explicação:** Esta é a fórmula para a soma dos primeiros \(n\) números naturais. 
 
32. **Problema:** Resolva \(\int_0^1 e^x \, dx\).